Punti stazionari

$ y(x) = \begin{cases} \frac{9}{x+2} \quad \quad \text{ se x < 1} \\ \sqrt{x} + 2 \quad \text{ se x ≥ 1} \end{cases} $

• Dominio = ℝ
• La funzione y(x) è continua in tutto il dominio (nel punto di raccordo i due limiti laterali sono entrambi pari a 3)
• grafico

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$ y'(x) = \begin{cases} -\frac{9}{(x+2)^2}  \qquad \text{ se x < 1} \\ \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \qquad \text{ se x ≥ 1} \end{cases} $

• La funzione è derivabile in ogni tratto, mentre presenta un punto angoloso in x = 1. Infatti, le due derivate laterali sono diverse

$ D^-y(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} y'(x) = -1$
$ D^+y(1) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} y'(x) = \frac{1}{2}$

Per x = 1 inoltre, si ha:

• y(1) = 3
• y(1) > 3 in un intorno sinistro
• y(1) > 3 in un intorno destro

Questo significa che $x_1 = 1 $ è un punto di minimo relativo non stazionario.

Punti stazionari.

• per x < 1 $ y'(x) = 0 \; \implies \; Ø $     Non ci sono punti stazionari
• per x ≥ 1 $ y'(x) = 0 \; \implies \; Ø $     Non ci sono punti stazionari