Punti stazionari

$ y(x) = \begin{cases} x^3+1 \qquad \quad \text{se    x ≤ 0} \\ x^4-4x+1 \qquad \quad \text{se    x > 0} \end{cases} $

• Dominio = ℝ
• La funzione è continua laddove definita

$ y'(x) = \begin{cases} 3x^2 \qquad \quad \text{se    x ≤ 0} \\ 4x^3-4 \qquad \quad \text{se    x > 0} \end{cases} $

• La funzione è derivabile in ℝ\{0}
• Per x = 0 la funzione presenta un punto angoloso. Infatti

$ D^-f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} y'(x) = 0 $
$ D^+f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y'(x) = -4$

Per x = 0 si ha un punto di massimo locale di tipo angoloso (vedi grafico)

https://www.desmos.com/calculator/6egxarp1rm

Punti stazionari y'(x) = 0

1. Nel primo tratto y'(x) = 0 ⇒ x = 0 ma x = 0 non è un punto stazionario ( è un punto angoloso)
2. Nel secondo y'(x) = 0 ⇒ x = 1
3. Classifichiamo il punto tramite la derivata seconda.

$ y' '(x) = 12x^2 \; \implies \; y' '(1) = 12 > 0$ quindi si tratta di un minimo relativo.

Conclusione. 

1. x = 0 massimo locale su punto angoloso
2. x = 1 minimo locale su punto stazionario