Punti stazionari

$ y(x) = \begin{cases} x^2+x \qquad \qquad \text{ se x < 0} \\ x^3-6x^2+9x \quad \text{ se x ≥ 0} \end{cases} $

• Dominio = ℝ
• La funzione y(x) è continua in tutto il dominio (nel punto di raccordo i due limiti laterali sono entrambi nulli)
• grafico

https://www.desmos.com/calculator/endje89zgn

$ y'(x) = \begin{cases} 2x+1 \qquad \qquad \text{ se x < 0} \\ 3x^2-12x+9 \quad \text{ se x ≥ 0} \end{cases} $

• La funzione è derivabile in ogni tratto, mentre presenta un punto angoloso in x = 0. Infatti, le due derivate laterali sono diverse

$ D^-y(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} y'(x) = 1$
$ D^+y(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y'(x) = 9$

Per x = 0 inoltre, si ha:

• y(0) = 0
• y(x) < 0 in un intorno sinistro
• y(x) > 0 in un intorno destro

Questo significa che non è un punto estremante.

Punti stazionari.

• per x < 0 $ y'(x) = 0 \; \implies \; x_1 = -\frac{1}{2} $
  • la derivata seconda $y' '(-\frac{1}{2}) = 2 > 0$   quindi   $x = -\frac{1}{2}$ è un punto di minimo relativo.
• per x ≥ 0 $ y'(x) = 0 \; \implies \; x^2-4x+3 = 0 \; \implies \; x_2 = 1 \; \lor \; x_3 = 3$
  • la derivata seconda $y' '(1) = 6-12 < 0$   quindi   $x_2 = 1$ è un punto di massimo relativo.
  • la derivata seconda $y' '(3) = 18-12 > 0$   quindi   $x_3 = 3$ è un punto di minimo relativo.