Punti stazionari

$ y(x) = \begin{cases} x^2+4x \quad \text{ se x < 0} \\ -3x \qquad \text{ se x ≥ 0} \end{cases} $

• Dominio = ℝ
• La funzione y(x) è continua in tutto il dominio e negativa in (-4, 0) vedi grafico
• https://www.desmos.com/calculator/hy8dwmh1a7

$ y'(x) = \begin{cases} 2x+4 \quad \text{ se x < 0} \\ -3 \qquad \text{ se x ≥ 0} \end{cases} $

• La funzione è derivabile in ogni tratto, mentre presenta un punto angoloso per x = 0. Infatti, le due derivate laterali sono diverse

$ D^-y(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} y'(x) = 4$
$ D^+y(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y'(x) = -3$

Per x = 0 inoltre, si ha:

• y(0) = 0
• y(x) < 0 in un intorno sinistro
• y(x) < 0 in un intorno destro

quindi x = 0 è un punto di massimo relativo, non stazionario visto che presenta un punto angoloso.

Punti stazionari.

• Non vi sono punti stazionari per x > 0  
• per x < 0 $ y'(x) = 0 \; \implies \; x = -2 $
  • la derivata seconda y' '(-2) = 2 > 0 quindi x = -2 è un punto di minimo relativo.