Punti stazionari

$y(x) = \sqrt[3]{3x^3+2x^2} $

• Dominio = ℝ

$y'(x) = \frac{x(9x+4)}{3\sqrt[3]{(x^2(3x+2))^2}} = \frac{(9x+4)}{3\sqrt[3]{x(3x+2)^2}}$

• Punti stazionari. $x = -\frac{4}{9}$
• Punti singolari. $ x = 0    \; \lor \;    x = -\frac{2}{3}$

Analisi segno derivata prima

_______-2/3_________-4/9_________0________
-----------------------------0+++++++++++++++   9x+4
---------------------------------------------X++++++     /x
++++++X+++++++++++++++++++++++++  ³√(3x+2)²
++++++X+++++++++0---------------X++++++    y'(x)

...↗....X........↗.......=.......↘........X...↗..     y(x)

1. x = -2/3 è un punto di flesso a tangente verticale. Infatti, $ \displaystyle\lim_{x \to -\frac{2}{3}} y'(x) = +\infty $
2. x = -4/9 è un punto stazionario di massimo locale (prima sale, poi scende)
3. x = 0 è una cuspide di minimo locale. Infatti:

• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} y'(x) = -\infty$
• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} y'(x) = +\infty$

Grafico. https://www.desmos.com/calculator/osjdavctr5