Punti stazionari

• Dominio della funzione

Come prima cosa c'è da considerare il dominio della funzione. In questo serve che l'argomento della radice quadrata sia maggiore o uguale a zero, dunque 

x + 1 >= 0

x>= -1.

Qualsiasi risultato deve tenere conto del fatto che prima di x = -1 la funzione non è definita (non esiste).

• Calcolo della derivata prima

Per trovare e classificare i punti stazionari serve studiare il segno della derivata prima. Innanzi tutto va calcolata. La funzione è

y = 2x \sqrt{x + 1}.

Si tratta del prodotto di due fattori: 2x e \sqrt{x+1}, quindi bisogna usare la formula y = f*g => y' = f'*g + f*g'. Per noi f = 2x, g = \sqrt{x+1} e diventa:

y' = 2\sqrt{x+1} + x / \sqrt{x+1} = (3x + 2) / \sqrt{x+1} dopo aver fatto il denominatore comune e svolto le moltiplicazioni.

• Segno della derivata prima 

y' è una fratta. Il denominatore è una radice quadrata, quindi non è mai negativo. È 0 per x = -1 (quindi y' non esiste, essendo nullo il denominatore) e positivo altrimenti. Quindi il segno di y' dipende solo dal suo numeratore:

3x + 2 >= 0

x>= -2/3

Allora y' < 0 se -1 <= x < -2/3 (ricorda il dominio della funzione: prima di x = -1 non esiste), quindi y decresce fra -1 e -2/3, e cresce da x = -2/3 in poi. Di conseguenza x = -1 è un punto di massimo relativo (perché dopo la funzione inizia a decrescere) e x = -2/3 un punto di minimo relativo perché da lì in poi la funzione inizia a crescere.