Punti stazionari

$ y(x) = \frac{x^3}{x-3} $

• Dominio = ℝ\{3}

$ y'(x) =  \frac{x(2x-9)}{(x-3)^2} $

• Punti stazionari. $ y'(x) = 0 \; ⇒ \; x = 0  \; \lor \; x = \frac{9}{2} $

_________0________3________9/2_____
+++++++0+++++++++++++++++++   x²
---------------------------------------0++++    2x-9
++++++++++++++X++++++++++++   (x-3)²
------------0------------X------------0++++     y'(x)

...↘.....=......↘.....X....↘.....=...↗...     y(x)

Caratterizzazioni

1. per x = 0 potrebbe essere un flesso orizzontale
2. per x = 9/2 si ha un minimo locale (prima scende poi sale)

$ y"(x) = \frac{2x(x^2-9x+27)}{(x-3)^3} \; ⇒ \; y"(0) = 0$

Passiamo alla derivata terza

$ y' ' ' (x) = -\frac{162}{(x-3)^4} $

Osserviamo che:

i) La derivata terza è una funzione continua
ii) y"'(0) ≠ 0

questo è sufficiente per concludere che si tratta di un flesso orizzontale. 

y = x^3/(x - 3)

Funzione razionale fratta:

C.E.  x - 3 ≠ 0----> x ≠ 3

x=3 asintoto verticale

Illimitata inferiormente e superiormente

Derivate:

y'= x^2·(2·x - 9)/(x - 3)^2

y''= 2·x·(x^2 - 9·x + 27)/(x - 3)^3

Punti stazionari per y' =0

x^2·(2·x - 9)/(x - 3)^2 = 0----> x = 9/2 ∨ x = 0

Per x= 9/2:

y = (9/2)^3/(9/2 - 3)---> y = 243/4

[9/2, 243/4] punto di minimo relativo in quanto:

y''(9/2)=2·(9/2)·((9/2)^2 - 9·(9/2) + 27)/(9/2 - 3)^3

y''=18 > 0

y''>0

2·x·(x^2 - 9·x + 27)/(x - 3)^3 > 0

per x < 0 ∨ x > 3 : la funzione presenta concavità verso l'alto

y''<0

2·x·(x^2 - 9·x + 27)/(x - 3)^3 < 0

0 < x < 3 : la funzione presenta concavità verso il basso

y''=0 per x=0 in cui si ha flesso a tangente orizzontale