punti di non derivabilita'

y=

{a·e^x + b   per x < 0

{c/(x + 1)   per x ≥ 0

La derivata è:

y'=

{a·e ^x   per x < 0

{- c/(x + 1)^2   per x ≥ 0

Per x=0 tangente a sinistra: y = 4·x + 3

Per x = 0 tangente a destra : y = - 3·x + 3

Con queste due condizioni abbiamo:

LIM(a·e^x) = a

x---> 0-

quindi : a = 4

f(0) = - c/(0 + 1)^2

quindi: -c = -3-----> c = 3

(per il significato geometrico di derivata sinistra e destra in x = 0)

Per la continuità della funzione y in x=0 deve essere:

a·e^0 + b = c/(0 + 1)-----> a + b = c

quindi per sostituzione:

4 + b = 3----> b = -1

Quindi la funzione definita a tratti è:

IF(x < 0, 4·e^x - 1, 3/(x + 1))

grafico:

Suppongo sia Es. n° 54

$ f(x) = \begin{cases} a\cdot e^x +b \qquad x \lt 0 \\ \frac{c}{x+1} \qquad \qquad x \ge 0 \end{cases} $

a.  Imponiamo la continuità

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = a+b$

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = c $

per essere continua deve essere verificata la condizione c = a + b

b.  I coefficienti angolari delle tangenti formanti la cuspide devono essere pari alle due derivate laterali

I coefficienti angolari delle due rette sono:

1. per x ≥ 0 $m_1 = 4$
2. per x < 0 $m_2 = -3$

per cui

• per x ≥ 0 si ha $ D(f(x)) = a \cdot e^x \; ⇒ \; D^-(f(0)) = a = m_1 = 4 $  
• per x < 0 si ha $ D(f(x)) = -\frac{c}{(x+1)^2} \; ⇒ \; D^+(f(0)) = -c = m_1 = -3 \; ⇒ \; c = 3$  
• se ne deduce che b = -1

nota. Ho usato il simbolo D per indicare la derivata.