punti di non derivabilita'

y=

{LN(4 + a·x^2)   per x ≥ 0

{3·a + COS(a/3·x)   per x < 0

per la derivata abbiamo:

y' =

{2·a·x/(a·x^2 + 4)   per x ≥ 0

{- a·SIN(a·x/3)/3    per x < 0

Il punto critico della funzione y è per x=0. Per la continuità della funzione in tale punto calcoliamo:

f(0)=LN(4 + a·0^2)= 2·LN(2)

per cui si deve avere:

LIM(3·a + COS(a/3·x)) =3·a + 1

x---> 0+

3·a + 1 = 2·LN(2)-----> a = (2·LN(2) - 1)/3

Per quanto riguarda la derivata y' anch'essa risulta continua nei tratti di definizione. Inoltre si ha:

f'(0)= 2·a·0/(a·0^2 + 4) = 0

LIM(- a·SIN(a·x/3)/3) = 0

x---> 0+

indipendentemente dal valore di a per cui è soddisfatta pure la continuità di y' in tutto R per il valore di a trovato in precedenza.

La funzione f(x) deve essere continua in x = 0.

I due rami della funzione nel punto x = 0, devono assumere lo stesso valore.

primo ramo: log(4 + ax^2) per x = 0 diventa:

log 4;

secondo ramo: 3a + cos(a/3 x) per x = 0, diventa:

3a + cos(0) = 3a + 1;

eguagliamo i due  valori:

3a + 1 = log4;

3a = log4 - 1;

a = (log4 - 1) / 3.

Anche la derivata deve assumere lo stesso valore in x = 0:

derivata del primo ramo:

f1'(x) = 2ax /(4 + ax^2); per x = 0;

f1'(0) = 0/4 = 0;

derivata del secondo ramo

f2'(x) = - sen(a/3 x ) * a/3;

f2'(x) = - sen(0) * a/3 = 0 * a/3 = 0; 

f'(x) è continua in R. 

Ciao @mike_lorenzo