PUNTI DI NON DERIVABILITA'

$ y(x) = \frac{x|x|-1}{(x+2)^2} $

• Dominio = ℝ\{-2}
• La funzione è continua in tutto il dominio ℝ\{-2}

$ y'(x) = \begin{cases}\frac{x|x|-1}{(x+2)^2}  \quad \text{se x ≠ 0} \\ \frac{1}{4} \qquad \quad \text{se x = 0} \end{cases} $

• La funzione è continua e derivabile in ℝ\{-2}

Riportiamo il calcolo della derivata

$D(y(x)) = D(\frac{x\sqrt{x^2}-1}{(x+2)^2} )$  

$D(y(x)) = \frac{(x+2)^2 D(x\sqrt{x^2}-1) - 2(x+2)(x|x|-1)}{(x+2)^4} $

$D(y(x)) = \frac{(x+2) D(x\sqrt{x^2}-1) - 2(x|x|-1)}{(x+2)^3} $  (*)

Due casi

i) Se x ≠ 0 allora

$D(y(x)) = \frac{(x+2) (x\frac{x}{\sqrt{x^2}}) - 2(x|x|-1)}{(x+2)^3} $  

$D(y(x)) = \frac{(x+2) (\sqrt{x^2}+x\frac{x}{\sqrt{x^2}}) - 2(x|x|-1)}{(x+2)^3} $  

$D(y(x)) = \frac{(x+2) (|x|+x\frac{x}{|x|}) - 2(x|x|-1)}{(x+2)^3} $  

$D(y(x)) = \frac{(x+2) (|x||x|+x^2) - 2(x \cdot x^2-|x|)}{|x|(x+2)^3} $

$D(y(x)) = \frac{(x+2) (2x^2) - 2(x^3-|x|)}{|x|(x+2)^3}$  

$D(y(x)) = \frac{2x^3+4x^2 - 2x^3+2|x|)}{|x|(x+2)^3} $  

$D(y(x)) = \frac{4x^2 +2|x|)}{|x|(x+2)^3} $

$D(y(x)) = \frac{4x^2 +2|x|)}{|x|(x+2)^3} $  

$D(y(x)) = \frac{2(|x|+2x^2)}{|x|(x+2)^3} $

ii) Se x = 0 

dalla (*) segue

$ \frac{0-2(0-1)}{0+2)^3 }= \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $