PUNTI DI NON DERIVABILITA'

$ f(x) = |ln\sqrt{x}|  \; ⇒ \; f(x) = \frac{1}{2} |ln(x)|  \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{2x} sgn(ln(x))$ vedi calcolo a piè pagina.

1. Dominio f(x) = (0, +∞)
2. Insieme di continuità di f(x) = (0, +∞).   E' composizione di funzioni elementari continue.
3. $f'(x) = \frac{1}{2x} sgn(ln(x))$
4. Dominio f'(x) = (0, 1) U (1, +∞)
5. Confronto Insieme di continuità f(x) e Dominio di f'(x) = {1} 

Studiamo il comportamento della derivata nei due intervalli laterali del punto x =1.
Osserviamo che laddove definita la derivata prima è continua, per cui

• $D^-(f'(x)) = \displaystyle\lim_{x \to 1^-} f'(x) = -1 $
• $D^+(f'(x)) = \displaystyle\lim_{x \to 1^+} f'(x) = 1 $

Siamo in presenza di un punto angoloso.

https://www.desmos.com/calculator/cfpxyaochb

nota: dx è la derivata per x > 1; s(x) è la derivata per x compresa tra 0 e 1.

Calcolo della derivata.

1. Se x > 1 allora $ f(x) = \frac{ln(x)}{2} \; ⇒ \; f'(x) = \frac{1}{2x} $
2. Se x∈(0,1) allora $ f(x) = -\frac{ln(x)}{2} \; ⇒ \; -f'(x) = \frac{1}{2x} $

Il tutto può essere compresso nella scrittura $ f'(x) = \frac{1}{2x} sgn(ln(x))$ dove con sgn(ln(x)) indichiamo il segno della funzione logaritmo naturale, cioè 

i) positiva per le x > 1

ii) negativa per le x comprese tra 0 e 1.