[Risolto] PUNTI DI NON DERIVABILITA'

Prima si deriva la funzione.
f(x):  y=radice(ln(1+x))
=>
f'(x):  y=[1/2radice(ln(1+x))]*[1/1+x]

Esistono tre tipi di punto di non derivabilità:
1)Punto Angoloso: è un punto in cui derivata destra e sinistra assumono valori diversi, ma almeno uno dei due è finito, oppure non esiste.
2)Cuspide: è un punto in cui derivata destra e sinistra sono diverse, ma entrambe infinite (in pratica di segno diverso)
3)Flesso a tangente verticale: è un punto in cui derivata destra e sinistra sono uguali ed entrambe infinite.

Nel tuo caso:
il CE è x≥0

lim con x che tende a 0 da sinistra di f' non esiste.
lim con x che tende a 0 da destra di f'= +∞
Quindi x=0 è un punto Angoloso.

x=-1 potrebbe sembrare un punto da studiare, ma dato che non appartiene al CE, in quel punto non ha senso farsi alcuna domanda.

La Derivata di una funzione IN UN PUNTO è definita coma LIMITE del rapporto incrementale della funzione IN QUEL PUNTO.

Il LIMITE in un PUNTO esiste se il LIMITE DX ed il LIMITE SX in quel PUNTO esistono e sono uguali.

Quindi, essendo la derivata un'operazione di limite, anch'essa ESISTE IN UN PUNTO se a DX e a SX esiste e dà lo stesso risultato...

Stando quanto sopra, per capire se la derivata esiste o non esiste in un punto, dovresti sempre osservare cosa accade alla destra e cosa accade alla sinistra di quel punto. E questo dovresti "moralmente" farlo per ogni punto che stia nel CE della funzione data.
Poi, di fatto, quello che succede di solito nelle funzioni che studiamo a scuola è che la derivata non dà poi grossi problemi in "quasi tutti" i  punti del CE della funzione.
Per cui quello che è necessario fare è cercare di capire quali possono essere i punti "dubbi" e andare a verificare solo quelli il comportamento.

Ad esempio.
y=Radice di X
ha per dominio x>=0 
L'unico punto che può dare problemi è x=0, gli altri "sono punti tranquilli".

y=|X| 
ha per dominio tutto R, quindi a prima vista sembra che non ci siano punti problematici... MA se pensi al comportamento della funzione (al suo grafico) puoi intuire che x=0 è un "punto particolare/diverso dagli altri", quindi ha senso investigare quel punto.

Ecc...

Tutto questo da un punto di vista sintetico.
Se invece vogliamo vedere un po' meglio le cose, cioè analizzarle da un punto di vista più analitico, quello che c'è da fare è calcolare la derivata prima e poi andare a studiarla nei punti in cui non è definita o in cui non risulta continua.

Non è semplicissimo spiegare questi concetti qui, senza sapere quali sono le tue conoscenze pregresse, ma spero di averti dato qualche piccolo input per comprendere meglio questi concetti.