Considera la funzione $f(x)= \begin{cases}x^2-k x+k-2 & x \geq 0 \\ k^2-3-c^{2 x} & x<0\end{cases}$
a. Determina per quali valori di $k$ e continua in $R$.
b. In corrispondenza di ciascuno dei valori di $k$ trovati, stabilisci se la funzione è anche derivabile in $R e$, in caso negativo, studia la natura dei punti di non derivabilita.
la. $k=-1 \vee k=2$; b. per $k=-1$ è derivabile in $\mathrm{R}-\{0\}$ (presenta in $x=0$ un punto angoloso) mentre per $k=2$ è derivabile in tutto $R$ ]
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punti
Livello 2
Funzione definita a tratti:
y = x^2 - k·x + k - 2 per x ≥ 0
y = k^2 - 3 - e^(2·x) per x < 0
Per la continuità della funzione deve essere in x=0 :
y = 0^2 - k·0 + k - 2----> y = k - 2
LIM(k^2 - 3 - e^(2·x)) = k^2 - 4
x---> 0-
k - 2 = k^2 - 4----> k^2 - k - 2 = 0
(k + 1)·(k - 2) = 0----> k = 2 ∨ k = -1
k = 2
y = x^2 - 2·x + 2 - 2---> y = x^2 - 2·x per x ≥ 0
y = 2^2 - 3 - e^(2·x)---> y = 1 - e^(2·x) per x < 0
k = -1
y = x^2 - (-1)·x + (-1) - 2---> y = x^2 + x - 3 per x ≥ 0
y = (-1)^2 - 3 - e^(2·x)---> y = - e^(2·x) - 2 per x < 0
Grafici funzioni:
La funzione definita a tratti:
IF(x ≥ 0, x^2 - 2·x, 1 - e^(2·x))
ammette derivata: IF(x ≥ 0, 2·x - 2, - 2·e^(2·x))
La funzione definita a tratti:
IF(x ≥ 0, x^2 + x - 3, - e^(2·x) - 2)
ammette derivata: IF(x ≥ 0, 2·x + 1, - 2·e^(2·x))
derivata continua su tutto R
Derivata discontinua in x=0 (la funzione presenta un punto angoloso in x=0)
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punti
Genius III
