[Risolto] PUNTI DI NON DERIVABILITA'

Studiamo il segno del valore assoluto:

$ (1-cos2x)cosx \geq 0$

Studiamo il segno dei due fattori:

$ 1-cos2x \geq 0$

$ cos2x \geq 1

$ \forall x $

e

$cosx \geq 0$

$ -\frac{\pi}{2} +2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ 

Dunque esplicitando il valore assoluto:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
(1-cos2x)cosx & se  -\frac{\pi}{2} +2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi  \\
-(1-cos2x)cosx & altrimenti
\end{array} \right.$

Nota inoltre che la funzione si annulla in:

$ cos2x = 1$

$ 2x = 2k\pi$

$ x = k\pi$

e in 

$ cosx=0$

$ x = k\frac{\pi}{2} + k\pi$

Le due funzioni di cui si compone il valore assoluto sono continue, pertanto possiamo derivare:

$f'(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
2sin2xcosx-(1-cos2x)sinx & se -\frac{\pi}{2} +2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi  \\
-2sin2xcosx+(1-cos2x)sinx & altrimenti
\end{array} \right. \\$

Per $x=k\pi$ il seno si annulla in entrambe le funzioni e dunque $f'(k\pi)=0$ risulta derivabile.

Invece per $x=\pi/2 + k\pi$ abbiamo:

$f'(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
-(1\mp1) & se -\frac{\pi}{2} +2k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi  \\
+(1\mp1) & altrimenti
\end{array} \right. \\$

(il $\mp$ dipende dal $+k\pi$)

dunque abbiamo dei punti angolosi