[Risolto] PUNTI DI NO DERIVABILITA'

Il dominio della funzione è $D: x>0$ per la presenza del logaritmo. 

In presenza di un valore assoluto, eventuali punti di non derivabilità si possono trovare nei punti in cui il valore assoluto si annulla. 

$ x+lnx = 0$

$ lnx = -x$

Questa equazione non può essere risolta analiticamente, ma graficamente possiamo notare che abbiamo una soluzione tra 0 e 1:

Sia quindi $x=\alpha$ la soluzione dell'equazione.

Possiamo dire inoltre, sempre osservando il grafico, che:

$ x+lnx > 0$ quando $lnx > -x$ e dunque per $0< x<\alpha$ 

mentre 

$ x+lnx < 0$ quando $lnx < -x$ e dunque per $0x>\alpha$.

Esplicitiamo la funzione:

$f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} +x+lnx & se \ 0<x \leq \alpha \\-x-lnx & se \ x > \alpha \end{array} \right.$

Possiamo derivare, essendo la funzione continua in un intorno di $x=\alpha$, e usare il teorema di Darbaux:

$f'(x) = \left\{ \begin{array}{cl} +1+\frac{1}{x} & se \ 0<x < \alpha \\-1-\frac{1}{x} & se \ x > \alpha \end{array} \right.$

Si nota facilmente che per $x\rightarrow \alpha$, la derivata tende a destra e sinistra a due valori diversi e finiti, dunque si tratta di un punto angoloso.

Noemi