Data la parabola di equazione y=-x^2+1,determinare su di essa un punto P di ordinata positiva in modo che sia minima la somma dei quadranti delle distanze dai punto di intersezione della parabola con l’asse x
Data la parabola di equazione y=-x^2+1,determinare su di essa un punto P di ordinata positiva in modo che sia minima la somma dei quadranti delle distanze dai punto di intersezione della parabola con l’asse x
67
punti
Livello 1
La parabola
* Γ ≡ y = 1 - x^2 = (1 + x)*(1 - x)
di generico punto cursore P(x, 1 - x^2) ha gli zeri in
* X1(- 1, 0), X2(1, 0)
e quindi ordinata positiva per |x| < 1, cioè
* - 1 < x < 1
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La richiesta funzione da minimizzare, somma dei quadrati delle distanze |PX|, risulta
* f(x) = |PX1|^2 + |PX2|^2 = (x^4 - x^2 + 2*x + 2) + (x^4 - x^2 - 2*x + 2) = 2*(x^4 - x^2 + 2) ≡
≡ f(x) = 2*(x^2 - 1/2)^2 + 7/2 >= f(± 1/√2) = 7/2
che ha il valore minimo, 7/2, nei due punti di ascisse x = ± 1/√2 dove il primo addendo s'annulla.
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I punti P così determinati sono
* P1(- 1/√2, 7/2), P2(1/√2, 7/2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy-7%2F2%3D2*%28x%5E2-1%2F2%29%5E2%5Dx%3D-2to2
52045
punti
Genius I
Il punto richiesto ha coordinate (x, 1 - x^2)
e i due punti A e B sono (-1,0) e (1,0)
per cui deve essere
f(x) = (x+ 1)^2 + (1 - x^2)^2 + (x - 1)^2 + (1 - x^2)^2 = min
2x^2 + 2 + 2 - 4x^2 + 2x^4 = min
2(x^4 - x^2 + 2) = min
(x^4 - x^2 + 1/4) + 7/4 = min
(x^2 - 1/2 )^2 + 7/4 = min
ciò avviene quando x^2 = 1/2 => x = +- rad(2)/2
e f_min = 2*7/4 = 14/4
per cui d_min = rad(14)/2
37867
punti
Livello 6