Punti critici nella funzione f(x,y)=xye^-((x^2+y^2)/2)

Question

Ciao a tutti,devo studiare questa funzione a 2 variabili (analisi2) e mi sto confrontando con dei colleghi e ovviamente anche con internet. La funzione è f(x,y)=xye^-((x^2+y^2)/2)   Gli Hessiani escono tutti quanti zero, quindi "a prima vista" non si sa se i punti critici siano Max, Min oppure Sella. I punti critici secondo me sono: A(-1,0) B(1,0) C(0,1) D(0,1) e a mio avviso anche E(0,0).   DOMANDE: 1) il punto E(0,0) è un punto critico? 2) so che forse chiedo troppo, ma i restanti punti sono Max, Min o Sella? dai miei calcoli escono tutti Sella però confrontandoli con questo sitohttps://www.youmath.it/ym-tools-calcolatore-automatico/analisi-2/determinare-i-massimi-e-i-minimi-in-due-variabili.htmlinserendo la funzione suddetta, "graficamente" io vedo che non sono Sella, ma soloi 0,0 è sella, gli altri sono 2 massimi e 2 minimi!!! Chi ha ragione? Grazie per la pazienza

LucianoP · Accepted Answer

A me risulta: z = x·y·e^(- (x^2 + y^2)/2) C.N. {z'x =0 {z'y =0 quindi: {y·e^(- x^2/2 - y^2/2) - x^2·y·e^(- x^2/2 - y^2/2) = 0 {x·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(1 - y^2) = 0 la cui risoluzione porta a: [x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 1, x = 1 ∧ y = -1, x = -1 ∧ y = 1, x = -1 ∧ y = -1] Punti critici: [0, 0] ; [1, 1] ; [1, -1] ; [-1, 1] ; [-1, -1] Per l'Hessiano abbiamo: z''xx=x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x^2 - 1) - 2·x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2) z''yy=x·y·e^(- x^2/2 - y^2/2)·(y^2 - 3) z''xy=z''yx=e^(- x^2/2 - y^2/2)·(x^2·(y^2 - 1) - y^2 + 1) Per [0, 0] H= |0....1| |1....0| = -1 <0 Punto di sella -------------------------- Per [1, 1] H= |-2e^-1........0| |0........-2e^-1| =4·e^(-2) >0 e z''xx<0 Punto di massimo relativo ---------------------------- Per [1,-1] H= |2e^-1............0| |0............2e^-1| =4 e^(-2) >0 e z''xx>0 Punto di minimo relativo ------------------------------ Per i due rimanenti vedi tu Controlliamo con Wolframalpha: [attach]68901[/attach] Mi sembra che i risultati siano concordi con quanto da me ottenuto (0,0) è di sella [attach]68904[/attach]

[Risolto] Punti critici nella funzione f(x,y)=xye^-((x^2+y^2)/2)

Domande