Progressioni aritmetiche

Se $a_4=23$, sai che $a_5=23+d$ e quindi $a_8=a_4+4d=23+4d$

quindi

$a_8-a_4=4d$ --> $28=4d$ --> $d=7$ 

andando a ritroso trovi che $a_1=2$.

Adesso sai calcolare la somma $S_n$? Suggerimento: se $a_n=100$ significa che $n=15$

La progressione aritmetica {a(k)} di innesco A e ragione d è definita da
* (a(0) = A) & (a(k + 1) = a(k) + d)
cioè da
* a(k) = A + d*k
ed ha somme parziali
* s(n) = Σ [k = 0, n] a(k) =
= Σ [k = 0, n] (A + d*k) =
= Σ [k = 0, n] A + Σ [k = 0, n] d*k =
= (n + 1)*A + d*Σ [k = 0, n] k =
= (n + 1)*A + d*n*(n + 1)/2 =
= (n + 1)*(A + d*n/2) =
= (d*n^2 + (2*A + d)*n)/2
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NEL CASO IN ESAME
Sono date le tre equazioni
* a(4) = A + d*4 = 23
* a(8) = A + d*8 = 51
* a(n) = A + d*n = 100
e si chiede il valore di s(n).
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Tu domandi «Come potrei calcolare a1 o la ragione d?» e la risposta è banale: risolvendo il sistema delle tre equazioni si ottengono le costanti caratteristiche della progressione (che ti consentiranno di "calcolare a1") e l'indice n che ti consentirà di calcolare il richiesto valore di s(n).
* (A + d*4 = 23) & (A + d*8 = 51) & (A + d*n = 100) ≡
≡ (A = 23 - d*4) & (23 - d*4 + d*8 = 51) & (23 - d*4 + d*n = 100) ≡
≡ (d = 7) & (A = 23 - 7*4) & (23 - 7*4 + 7*n = 100) ≡
≡ (d = 7) & (A = - 5) & (n = 15)
In base a tale soluzione si scrive la successione
* a(k) = 7*k - 5
e si calcolano i valori richiesti da te e dal testo
* a(1) = 7*1 - 5 = 2
* s(15) = Σ [k = 0, 15] a(k) =
= (7*15^2 + (2*(- 5) + 7)*15)/2 = 765