Determinare le coordinate del punto H, proiezione ortogonale di C
sul vettore AB.
Ho svolto i punti precedenti del problema, in cui ho ricavato i vettori AB, AC e CB e calcolato il perimetro del triangolo ABC. Non ho però capito come trovare il punto H.
La soluzione è H = (18/13, 12/13, 0)
18
punti
Livello 0
Dati A(2, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 1) si chiede H, proiezione ortogonale di C su AB.
La proiezione ortogonale è il punto di minima distanza.
Il punto H, definito come cursore del segmento AB con parametro 0 <= k <= 1, è
* H = A + k*(B - A) = (2, 0, 0) + k*((0, 3, 0) - (2, 0, 0)) = (2*(1 - k), 3*k, 0)
e la sua distanza d da C
* |CH| = d(k) = √((0 - 2*(1 - k))^2 + (0 - 3*k)^2 + (1 - 0)^2) =
= √(13*k^2 - 8*k + 5)
Poiché
* 13*k^2 - 8*k + 5 = 13*(k - 4/13)^2 + 49/13
ha il minimo (49/13) nel vertice V(4/13, 49/13), si ha che
* d(k) = √(13*k^2 - 8*k + 5) >= d(4/13) = √(49/13) = 7/√13
quindi
* H(2*(1 - 4/13), 3*4/13, 0) = (18/13, 12/13, 0)
che è proprio il risultato atteso.
51598
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Genius I
@exprof Non riesco a capire cosa ha fatto dopo “poiché”… da dove vengono 4/13 e 49/13? Intanto grazie tante!
@GiovannaMondin
Come sarebbe "da dove vengono 4/13 e 49/13?"? Sono le coordinate V(k, d^2(k)) del minimo.
Mi duole d'esserti sembrato poco chiaro, aggiungo dettagli.
1) Voglio minimizzare d(k) = √(13*k^2 - 8*k + 5)
2) Il polinomio radicando ha coefficiente direttore a = 13 > 0 e discriminante Δ = - 196 < 0; quindi è positivo ovunque, per ogni k reale.
3) La radice quadrata di un polinomio positivo ovunque è minima là dove lo sia il radicando.
4) L'equazione
* d^2(k) = y = 13*k^2 - 8*k + 5 = 13*(k - 4/13)^2 + 49/13
rappresenta una parabola del piano Oky col vertice V(4/13, 49/13); vuol dire che per k = 4/13 l'ordinata y (e quindi d^2) assume il suo minimo valore che è 49/13.
5) Ne segue che la distanza minima è 7/√13.
Se trovi ancora qualcosa di poco chiaro devi rileggere tutto con calma e riflettendoci su.
