[Risolto] prodotto diretto di gruppi

$G$ è isomorfo al prodotto insiemistico $H \times K$ con le operazioni componente per componente, quindi ragioniamo direttamente sul prodotto.

le proiezioni sono suriettive perché per ogni $h \in H$ l'elemento $(h, 0_K)$ viene mandato dalla proiezione in $h$.

Mostriamo che il nucleo è $\{0_H\}\times K$: ogni coppia $(0_H, k)$ sta sicuramente nel nucleo, viceversa ogni elemento del nucleo deve avere la prima componente uguale a $0_H$. 

Deriva direttamente dalla definizione di nucleo.

Andiamo per punti, magari così ti è più chiaro:

•  per provare che una $f: H \times K \rightarrow H$ è suriettiva dobbiamo mostrare che per ogni $h \in H$ esiste $(h,k)$ in $H \times K$ tale che $f(h,k)=h$, visto che $f$ è la proiezione basta prendere $(h,0_K)$.
• il nucleo è la preimmagine di $0$ ovvero dobbiamo trovare l'insieme degli $(h,k)$ tali che $f(h,k) = 0_H$, ma $f(h,k)=h$, quindi il nucleo è dato da tutte e sole le coppie $(h,k)$ tali che $h=0_H$