Desidero anzitutto ringraziare @exprof e @lucianop per la pazienza dimostrata e per avermi spronato a successive revisioni.
Il problema era :
C'é un gruppo di sei ragazze e sei ragazzi. Per tre volte verrà chiamata una coppia a caso
( senza ripetizioni ) per giocare una partita a scacchi.
Qual é la probabilità che Nausicaa non debba confrontarsi con un ragazzo ?
Nausicaa se la cava se esce (f, xf, xxm*)
Non se la cava se esce (m, xm, xxm)
I turno.
Ci sono tre esiti possibili
(N,m) (N,f) (no N)
le cui probabilità sono
Pr [Nm] = C(6,1)*C(1,1)*C(5,0)/C(12,2) = 6/66
Pr [Nf] = C(6,0)*C(1,1)*C(5,1)/C(12,2) = 5/66
Pr [no N] = C(1,0)*C(11,2)/C(12,2) = 55/66 = 5/6
Allora Pr [f] = 5/66 e Pr [ N va al II turno ] = 5/6
Nella discussione del II turno si deve separare l'eventualità "no N" in
"mm" "mf" "ff".
Perché questo determina la composizione del II turno
in cui sappiamo che c'é anche N.
Pr [mm] = C(6,2)*C(5,0)/C(11,2) = 15/55
Pr [mf] = C(6,1)*C(5,1)/C(11,2) = 30/55
Pr [ff] = C(6,0)*C(5,2)/C(11,2) = 10/55
che vanno moltiplicate per 5/6 per passaggio al II turno.
II turno
Compresa Nausicaa, il pool é ora composto da 10 elementi,
4 m + 6 f con probabilità 15/66
5 m + 5 f con probabilità 30/66
6 m + 4 f con probabilità 10/66
Pr [Nm|(4,6)] = C(1,1)*C(4,1)*C(5,0)/C(10,2) = 4/45
Pr [Nf|(4,6)] = C(1,1)*C(5,1)*C(4,0)/C(10,2) = 5/45
Pr [ x|(4,6)] = C(1,0)*C(9,2)/C(10,2) = 36/45 = 4/5
e similmente
Pr [Nm|(5,5)] = C(1,1)*C(5,1)*C(4,0)/C(10,2) = 5/45
Pr [Nf|(5,5)] = C(1,1)*C(4,1)*C(5,0)/C(10,2) = 4/45
Pr [ x|(5,5)] = C(1,0)*C(9,2)/C(10,2) = 36/45 = 4/5
e ancora
Pr [Nm|(6,4)] = C(1,1)*C(6,1)*C(3,0)/C(10,2) = 6/45
Pr [Nf|(6,4)] = C(1,1)*C(6,0)*C(3,1)/C(10,2) = 3/45
Pr [ x|(6,4)] = C(1,0)*C(9,2)/C(10,2) = 36/45 = 4/5
da cui, con la formula della probabilità totale, si possono calcolare
Pr [xf] = 5/45 * 15/66 + 4/45 * 30/66 + 3/45 * 10/66 = (75 + 120 + 30)/2970 = 225/2970 = 5/66
Pr [xm] = 4/45 * 15/66 + 5/45 * 30/66 + 6/45 * 10/66 = (60 + 150 + 60)/2970 = 270/2970 = 6/66
Pr [xx] = 4/5 * 15/66 + 4/5 * 30/66 + 4/5 * 10/66 = 4/5 * 5/6 = 4/6 = 2/3.
Questo é plausibile perché ci sono 8 posizioni utili per il 3^ turno su 12 complessive.
Al solito l'ultimo caso dovrà essere scomposto in sottocasi per l'analisi del 3^ turno.
Intanto possiamo dire che
Pr [E*] = 5/66 + 5/66 + Pr [x x nm] = 10/66 + Pr [ x x nm ]
Pr [E*c] = 6/66 + 6/66 + Pr [ x x m ] = 12/66 + Pr [ x x m ]
e che la probabilità (assoluta) che Nausicaa passi indenne il 2^ turno é
Pr [f] + Pr [xf] + Pr [xx] = 5/66 + 5/66 + 2/3 = 54/66 = 9/11.
Intermezzo.
Ora, compresa Nausicaa, ci sono 8 elementi in tutto.
Tutto quello che andiamo a dire é condizionato ad un evento (xx) che ha probabilità 2/3.
Per valutare la probabilità che ha Nausicaa di avere (non avere) come partner un maschio
si deve sapere quanti m/f ci sono nel pool del 3^ turno, e quindi sapere cosa era accaduto
al secondo se Nausicaa non era stata estratta. Ed é da questo che dobbiamo cominciare, considerando
anche la composizione con la quale il 2^ turno era iniziato.
Abbiamo quindi
Pr [(4,6)] = 15/66, Pr [(5,5)] = 30/66, Pr [(6,4)] = 10/66
Ricordando che Nausicaa non veniva estratta ( se va al terzo turno )
ne risulta
(n. evento - cosa esce - da dove si parte - quanto é probabile - dove ci porta)
E1) Pr [mm|(4,6)] = C(4,2)*C(5,0)*C(1,0)/C(10,2) = 6/45 ( -> 2,6)
E2) Pr [mf|(4,6)] = C(4,1)*C(5,1)*C(1,0)/C(10,2) = 20/45 ( -> 3,5)
E3) Pr [ff|(4,6)] = C(4,0)*C(5,2)*C(1,0)/C(10,2) = 10/45 ( -> 4,4)
E4) Pr [mm|(5,5)] = C(5,2)*C(4,0)*C(1,0)/C(10,2) = 10/45 ( -> 3,5)
E5) Pr [mf|(5,5)] = C(5,1)*C(4,1)*C(1,0)/C(10,2) = 20/45 ( -> 4,4)
E6) Pr [ff|(5,5)] = C(5,0)*C(4,2)*C(1,0)/C(10,2) = 6/45 ( -> 5,3)
E7) Pr [mm|(6,4)] = C(6,2)*C(3,0)*C(1,0)/C(10,2) = 15/45 ( -> 4,4)
E8) Pr [mf|(6,4)] = C(6,1)*C(3,1)*C(1,0)/C(10,2) = 18/45 ( -> 5,3)
E9) Pr [ff|(6,4)] = C(6,0)*C(3,2)*C(1,0)/C(10,2) = 3/45 ( -> 6,2)
Dalla formula della Probabilità Totale si possono determinare adesso anche
Pr [mm] = 6/45 * 15/66 + 10/45 * 30/66 + 15/45 * 10/66 = (90 + 300 + 150)/2970 = 2/11
Pr [mf] = 20/45 * 15/66 + 20/45*30/66 + 18/45 * 10/66 = (300 + 600 + 180)/2970 = 36/99 = 4/11
Pr [ff] = 10/45 * 15/66 + 6/45 * 30/66 + 3/45 * 10/66 = (150 + 180 + 30)/2970 = 360/2970 = 12/99 = 4/33
e la somma é 2/11 + 4/11 + 4/33 = (6 + 12 + 4)/33 = 22/33 = 2/3
Terzo turno.
Con quale probabilità viene generata ogni configurazione ?
(2,6) => E1 = 6/45 * 15/66 = 90/2970 = 3/99
(3,5) => E2 + E4 = 20/45 * 15/66 + 10/45 * 30/66 = (300 + 300)/2970 = 600/2970 = 20/99
(4,4) => E3 + E5 + E7 = 10/45 * 15/66 + 20/45 * 30/66 + 15/45 * 10/66 = (150 + 600 + 150)/2970 =
= 900/2970 = 30/99
(5,3) => E6 + E8 = 6/45 * 30/66 + 18/45 * 10/66 = (180 + 180)/2970 = 360/2970 = 12/99
(6,2) => E9 = 3/45 * 10/66 = 30/2970 = 1/99
Ora determiniamo Pr [(Nm)] condizionata a ciascuna di queste e, come complementare, anche la Pr [N nm ]
sempre condizionata
Pr [Nm|(2,6)] = C(2,1)*C(1,1)*C(5,0)/C(8,2) = 2/28 ( N nm => 26/28 )
Pr [Nm|(3,5)] = C(3,1)*C(1,1)*C(4,0)/C(8,2) = 3/28 ( N nm => 25/28 )
Pr [Nm|(4,4)] = C(4,1)*C(1,1)*C(3,0)/C(8,2) = 4/28 ( N nm => 24/28 )
Pr [Nm|(5,3)] = C(5,1)*C(1,1)*C(2,0)/C(8,2) = 5/28 ( N nm => 23/28 )
Pr [Nm|(6,2)] = C(6,1)*C(1,1)*C(1,0)/C(8,2) = 6/28 ( N nm => 22/28 )
Per la Formula della Probabilità Totale (prodotto scalare u*v' )
Pr [xx nm] = 3/99 * 26/28 + 20/99 * 25/28 + 30/99 * 24/28 + 12/99 * 23/28 + 1/99 * 22/28 =
= (78 + 500 + 720 + 276 + 22)/(99*28) = 1596/2772 = 19/33
e infine Pr [E*] = 10/66 + 19/33 = (5 + 19)/33 = 24/33 = 8/11 (72.7%)
e, a riprova, essendo
Pr [ xx m ] = 3/99 * 2/28 + 20/99 * 3/28 + 30/99 * 4/28 + 12/99 * 5/28 + 1/99 * 6/28 =
= (6 + 60 + 120 + 60 + 6)/(99*28) = 252/(99*28) = 9/99 = 1/11
per cui Pr [E*c] = 12/66 + 1/11 = 2/11 + 1/11 = 3/11.
