[Risolto] Problemi Trigonometria

Con riferimento alla figura allegata in fondo, abbiamo:

ΡΒ = 10·COS(x)

ΑΡ = 10·SIN(x)

ΑΕ^2 = 5^2 + (5·√3)^2 = 100

Applico il Teorema di Carnot per il calcolo di :

ΡΕ^2 = ΑΕ^2 + ΑΡ^2 - 2·ΑΕ·ΑΡ·COS(pi/2 - x + pi/3)

Valuto il coseno:

COS(pi/2 - x + pi/3)=COS(5·pi/6 - x) =

=COS(5/6·pi)·COS(x) + SIN(5/6·pi)·SIN(x)=

= - √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2

Quindi:

ΡΕ^2 = 100 + 100·SIN(x)^2 - 2·10·10·SIN(x)·(- √3·COS(x)/2 + SIN(x)/2)

ossia:

ΡΕ^2 = 100·√3·SIN(x)·COS(x) + 100

In base al testo deve essere:

3·(100·√3·SIN(x)·COS(x) + 100) = 7·(10·COS(x))^2

300·√3·SIN(x)·COS(x) + 300 = 700·COS(x)^2

3·√3·SIN(x)·COS(x) + 3 = 7·COS(x)^2

7·COS(x)^2 - 3·√3·SIN(x)·COS(x) - 3 = 0

(equivalente a quella posta come soluzione nel testo)

posto:

{COS(x) = Χ

{SIN(x) = Υ

risolvo il sistema.

{Χ^2 + Υ^2 = 1

{7·Χ^2 - 3·√3·Υ·Χ - 3 = 0

che fornisce 4 soluzioni di cui una sola compatibile con le condizioni poste:

Υ = 1/2 ∧ Χ = √3/2 

{SIN(x) = 1/2

{COS(x) = √3/2

x = pi/6

Imposto il problema. 

Il triangolo EBC è rettangolo con angoli acuti di 30 e 60 gradi. 

EBC= 30°

L'ipotenusa EB è il doppio del cateto opposto all'angolo di 30 gradi (metà della base) 

EB = 10

Il triangolo ABP è rettangolo essendo inscritto in una semicirconferenza. Quindi 

PB = 10*cos(x)

Determini il quadrato del segmento  EP applicando il teorema del coseno al triangolo EPB. Una volta ricavata l'equazione risolvente, dividendo per cos²(x) ricavi l'equazione risolvente:

3*tan²x + 3*radice (3)* tan (x) - 4 = 0

3t²-3*radice (3)*t - 4 = 0

Abbiamo due soluzioni una positiva e una negativa. Per i vincoli geometrici scartata quella negativa

t= radice (3)/3

tan(x) = radice (3)/3

x= 30°