[Risolto] Problemi sulla parabola

Posto: a ≠ 0

Trovo i punti base del fascio : y = a·x^2 + 2·a·x - 6·a + 3

 dando ad a 2 altri valori a piacere:

{y = 1·x^2 + 2·1·x - 6·1 + 3    (a=1)

{y = 2·x^2 + 2·2·x - 6·2 + 3      (a=2)

Quindi risolvo il sistema:

{y = x^2 + 2·x – 3

{y = 2·x^2 + 4·x – 9

Che fornisce la soluzione:

[x = √7 - 1 ∧ y = 3, x = - √7 - 1 ∧ y = 3]

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Determino quindi la parabola passante per (-2,-3)

-3 = a·(-2)^2 + 2·a·(-2) - 6·a + 3------->  a = 1 ottengo quindi la parabola precedente!

y = x^2 + 2·x – 3

quella congruente a questa ma con concavità opposta si ottiene ponendo a=-1

y = (-1)·x^2 + 2·(-1)·x - 6·(-1) + 3-------->  y = - x^2 - 2·x + 9

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Quest’ultima parabola è tale per cui l’ordinata media con quella precedente fornisce y=3:

((- x^2 - 2·x + 9) + (x^2 + 2·x - 3))/2 = 3

Quindi, le due parabole determinate in precedenza sono simmetriche rispetto alla retta orizzontale y=3

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x = -1 è l’asse di simmetria comune delle due parabole (x=-b/(2*a))

Quindi il rettangolo da determinare, inscritto fra le due parabole è compreso fra le due rette verticali

 x=-1-k e x=-1+k . ha quindi una base pari a 2k.

Per x=-1+k

y = (-1 + k)^2 + 2·(-1 + k) – 3

y = k^2 – 4

y = - (-1 + k)^2 - 2·(-1 + k) + 9

y = 10 - k^2

Quindi si determina k:

29 = 2·(2·k + 10 - k^2 - k^2 + 4)

29 = - 4·(k^2 - k - 7)

k  = 1/2

poi le coordinate dei 4 punti

x = -1 + 1/2                    ------->   x = - 1/2

y = (- 1/2)^2 + 2·(- 1/2) – 3  ------->   y = - 15/4

y = - (- 1/2)^2 - 2·(- 1/2) + 9  -------->  y = 39/4

x = -1 – 1/2   ---------> x = - 3/2

y = (- 3/2)^2 + 2·(- 3/2) – 3   ------>  y = - 15/4

y = - (- 3/2)^2 - 2·(- 3/2) + 9    ----->  y = 39/4

[- 3/2, 39/4]

[- 1/2, 39/4]

[- 1/2, - 15/4]

[- 3/2, - 15/4]

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Per integrazione:

(- x^2 - 2·x + 9) - (x^2 + 2·x - 3) = - 2·x^2 - 4·x + 12

∫(- 2·x^2 - 4·x + 12)dx=- 2·x^3/3 - 2·x^2 + 12·x

Valutata tra - √7 – 1 e √7 – 1 si ottiene:

28·√7/3 - 40/3 - (- 28·√7/3 - 40/3) = 56·√7/3

Vedi https://www.sosmatematica.it/forum/postid/16927/