[Risolto] Problemi sulla parabola

ELLE: Problemi sulla parabola

@elle

Ciao. Riscrivo quanto hai detto:

Considera la parabola di equazione y=x^2. Traccia la tangente t e la normale n alla parabola nel suo punto A di ascissa 1. Detto P un punto di ascissa x appartenente alla parabola, indica con H e K rispettivamente, le proiezioni di P su t e su n.

RISULTATI=[t:y=2x -1, n:y=-1/2x+3/2; y=(x-1)^2+|2x^2+x-3|]
Io sono riuscita a trovare le equazioni di t e n ma poi non so più come andare avanti, riuscireste a risolvermelo spiegandomi anche i passaggi? Grazie 

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commento tuo:  manca soltanto al problema:” Traccia il grafico della funzione y=radice quadrata di 5(PH+PK)”

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Per x=1 si ha: A(1,1)

Tangente t

Formule di sdoppiamento: (y + 1)/2 = 1·x -------> y = 2·x - 1

Normale n

La tangente ha m=2 la normale ha m'=-1/2. quindi, retta per A(1,1):

y - 1 = - 1/2·(x - 1) ----------> y = 3/2 - x/2

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y=√5·(PH + PK)

Il generico punto P della parabola ha coordinate P(x,x^2). Calcolo la distanza PH dalla retta tangente t

y = 2·x - 1 ------->2·x - y - 1 = 0

PH=ABS(2·x - x^2 - 1)/√(2^2 + (-1)^2) = √5·x^2/5 - 2·√5·x/5 + √5/5

OSSERVAZIONE : Ho liberato il modulo cambiando il segno al trinomio perché rappresenta una quantità variabile sempre non positiva

Calcolo la distanza PK dalla retta normale n

y=3/2-x/2 ---------------------> x + 2·y - 3 = 0

PK =ABS(x + 2·x^2 - 3)/√(1^2 + 2^2) = √5·ABS(2·x^2 + x - 3)/5 =√5·(2·x^2 + x - 3)/5

OSSERVAZIONE: Ho liberato il modulo perché il trinomio per x>=1 è non negativo

La funzione quindi è:

y=√5·(√5·x^2/5 - 2·√5·x/5 + √5/5 +√5·(2·x^2 + x - 3)/5 )

y = 3·x^2 - x – 2 parabola ad asse verticale! per x>=1

Ciò vale anche per x ≤ - 3/2 (infatti 2·x^2 + x - 3 ≥ 0 fornisce x ≤ - 3/2 ∨ x ≥ 1

Per x: -3/2<x<1 bisogna cambiare il segno secondo termine, per poter tener conto di questo, la funzione da calcolare è quindi:

--------->y = (x - 1)^2 + ABS(2·x^2 + x - 3)   <-----

@elle
Prima di clickare l'invio sarebbe sempre buona cosa controllare, rileggendo con calma, che cosa si stia inviando. In questo caso, fra descrizione narrativa e risultati attesi, non ci sarebbe stata per niente male una breve consegna.
CHE MINCHIAZZA CI SE NE DEVE FARE DELLA TRIMURTI PHK DOPO AVERLA DEFINITA?
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AGGIUNTA (dopo aver visto il commento chiarificatore)
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La parabola
* y = x^2
ha pendenza
* dy/dx = m(x) = 2*x
quindi nel punto A(1, 1) la tangente ha pendenza m = 2 e la normale m' = - 1/2.
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Per il punto A(1, 1) passano tutte e sole le rette:
* x = 1, parallela all'asse y;
* y = k*(x - 1) + 1, per ogni pendenza k reale.
Quindi si ha
* t ≡ y = 2*(x - 1) + 1 ≡ y = 2*x - 1
* n ≡ y = - (x - 1)/2 + 1 ≡ y = (3 - x)/2
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Per il punto P(u, u^2) passano tutte e sole le rette:
* x = u, parallela all'asse y;
* y = k*(x - u) + u^2, per ogni pendenza k reale.
Quindi le projettanti su (n, t), parallele a (t, n), sono
* pt ≡ y = 2*(x - u) + u^2 ≡ y = 2*x + (u - 2)*u
* pn ≡ y = - (x - u)/2 + u^2 ≡ y = ((2*u + 1)*u - x)/2
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I richiesti punti projezioni sono soluzione dei sistemi projettata-projettante
* t & pn ≡ (y = 2*x - 1) & (y = ((2*u + 1)*u - x)/2) ≡
≡ H((2*u^2 + u + 2)/5, (4*u^2 + 2*u - 1)/5)
* n & pt ≡ (y = (3 - x)/2) & (y = 2*x + (u - 2)*u) ≡
≡ K((- 2*u^2 + 4*u + 3)/5, (u^2 - 2*u + 6)/5)
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Le distanze e la loro somma risultano
* |PH| = (u - 1)^2/√5
* |PK| = √((2*u^2 + u - 3)^2/5)
* |PH| + |PK| = (√((2*u^2 + u - 3)^2) + (u - 1)^2)/√5
e infine
* "y=radice quadrata di 5(PH+PK)" ≡
≡ y = √(5*((√((2*x^2 + x - 3)^2) + (x - 1)^2)/√5))
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D%E2%88%9A%285*%28%28%E2%88%9A%28%282*x%5E2%2Bx-3%29%5E2%29%2B%28x-1%29%5E2%29%2F%E2%88%9A5%29%29%5Dx%3D-9to9