PROBLEMI SUI FASCI DI RETTA

ESERCIZIO 1)

Primo fascio: fascio di rette improprio (rette parallele) di coefficiente angolare m= - 1/2

 

Secondo fascio: fascio di rette proprio aventi come generatrici le rette:

{x-2=0

{y= - 3

Quindi: C(2 ; - 3)

 

La retta comune hai due fasci ha coefficiente angolare m = - 1/2 e passa per il punto C. 

Imponendo la condizione di appartenenza del punto alla fascio y= - (1/2)*x + q si ricava il valore del parametro:

 

-3 = - 1 - q

q= - 2  => y = - (1/2)*x - 2

 

ESERCIZIO 2)

Determino i centri dei fasci propri mettendo a sistema le due generatrici 

{x+2=0

{-y+1= 0

Quindi C1=( - 2;1)

 

{-y-1=0

{x-2=0

Quindi C2=(2; -1)

 

{x-4=0

{-y+3=0

Quindi C3=(4;3)

 

Utilizziamo la formula di Gauss per determinare la superficie conoscendo i vertici. 

 

 

PASSAGGI NECESSARII E/O SOLO UTILI
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A) Per descrivere la natura di un fascio.
L'equazione di un qualsiasi fascio di rette si può ridurre alla forma normale canonica di un trinomio di primo grado nelle variabili (x, y) con coefficienti parametrici, p.es., in k
* r(k) ≡ a(k)*x + b(k)*y + c(k) = 0
e alla forma esplicita in y
* (y = - (a(k)/b(k))*x + c(k)/b(k)) & (b(k) != 0) ≡
≡ (y = m(k)*x + q(k)) & (m(k) = - a(k)/b(k)) & (q(k) = - c(k)/b(k)) & (b(k) != 0)
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A1) Se la pendenza m(k) risulta costante, allora la natura è: fascio improprio di parallele.
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A2) Se nessuno di a(k) e b(k) è costante allora
* per (a(k) = 0) & (b(k) != 0) si ha y = - c(k)/b(k)
* per (a(k) != 0) & (b(k) = 0) si ha x = - c(k)/a(k)
e la natura è: fascio proprio di centro C(- c(k)/a(k), - c(k)/b(k)).
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A3) Metodo generale.
Si calcolano r(0) ed r(1) e se ne fa sistema.
Se le due rette s'intersecano in C allora la natura è: fascio proprio di centro C.
Se il sistema è impossibile allora la natura è: fascio improprio di pendenza quella delle due rette.
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B) Per trovare, se esiste, la retta "c" comune a due fasci r(k) ed s(h) o per dimostrarne l'inesistenza.
Se r(k) ed s(h) sono ...
B1) ... improprii con pendenze diverse "c" non esiste.
B2) ... improprii con pendenze eguali "c" si ricava da q(k) = q(h).
B3) ... proprii con lo stesso centro "c" non esiste.
B4) ... proprii con centri diversi "c" è la congiungente dei centri e si ricava imponendo che le coordinate del centro di un fascio soddisfacciano all'equazione dell'altro.
B5) ... di diversa natura "c" è la retta del fascio proprio con la pendenza dell'improprio ovvero la retta del fascio improprio che si ricava imponendo che le coordinate del centro del proprio soddisfacciano all'equazione dell'improprio.
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C) Per trovare, se esiste, il centro di un fascio o per dimostrarne l'inesistenza.
Cfr. A3.
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D) Per calcolare l'area S di un poligono convesso usando le coordinate dei vertici.
Si applica la formula "a lacci di scarpe" di Gauss.
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss
Per il triangolo di vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
assume la forma
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.