Equazione parametrica

(b - 3)·x^2 - 2·b·x + b - 1 = 0

(b - 3)·(1/2)^2 - 2·b·(1/2) + b - 1 = 0

(b - 7)/4 = 0----> b = 7

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Δ/4 = 0

b^2 - (b - 3)·(b - 1) = 0

4·b - 3 = 0-----> b = 3/4

Gesù, Giuseppe, Sant'Anna e Maria!
Parafrasando Michele Apicella ti urlo in faccia
MA COME SCRIVI? MA COME SCRIVI? LE PAROLE SONO IMPORTANTI!
E, per completare l'analogia con Palombella Rossa, ritieniti schiaffeggiato.
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1) Un forum di domande e risposte è come una bacheca in cui non c'è alcuna sincronia: tu affiggi il tuo quesito all'ora che ti pare, io lo leggo all'ora che mi capita di passare da lì.
Dire uno di {buongiorno, BUONASERA, buon<parteDelGiorno>} vuol dire non aver compreso il concetto di trasmissione asincrona, dopo secoli dall'invenzione delle cassette delle lettere.
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2) LEGGERE "volevo chiedere" stimola la risposta istintiva "Ah, beh, se adesso non vuoi più è inutile che ti risponda. Alla prossima!".
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3) LEGGERE "se potreste aiutarmi" stimola la risposta istintiva "Eh, intendevi «se poteste» vero? Sì, io posso aiutarti. Beninteso dopo che avrai scritto su quale parte del «fare la seguente equazione parametrica» che non riesci a fare da te ti serve aiuto e di che tipo (ripasso di teoria, divisione, calcolo delle radici, ...)".
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4) NON LEGGERE, fra le precedente frase obbrobriosa e i due quesiti nessuna consegna stimola la risposta istintiva "Ma se a FrancescoM18 non gli frega niente di chiedere, perché a me dovrebbe importare di rispondergli?"
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Avrai notato che, per i motivi detti sub {2, 3, 4} tu non dovresti ottenere la risoluzione del problema che, immagino, è il motivo che t'ha indotto a pubblicare questa domanda.
Avresti invece avuto risposte abbondantemente dettagliate se l'avessi formulata in qualche modo che rispettasse l'intelligenza di chi l'avrebbe letta. Ad esempio
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Si chiede per quali valori del parametro, se ne esistono, l'equazione in x parametrica in k
* ((k - 3)*x^2 - 2*k*x + (k - 1) = 0) & (k != 3)
ha
a. una radice eguale a 1/2
b. due radici reali e coincidenti
M'è stato assegnato quest'esercizio, ma io non ho ancora ben chiara la procedura risolutiva.
Ringrazio fin d'ora chi vorrà farmi il favore di illustrarmela usando questo problema come esempio.
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E su una richiesta così gentile e ben posta orde di responsori si sarebbero dati da fare per scriverti la loro versione di ciò che è richiesto: uno di essi sarei stato io, con quanto segue.
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Caro Francesco, anzitutto mi scuso per aver rinominato "k" il tuo parametro "b"; il fatto è che "b" è tradizionalmente il nome del coefficiente del termine lineare e mi pare brutto scrivere "b = - 2*b" mentre "b = - 2*k" non suscita alcuna impressione.
In secondo luogo t'invito a notare che la condizione restrittiva "k != 3" implica che il coefficiente direttore è non nullo per ogni "k" lecito, cioè che è lecito dividere membro a membro per esso
* ((k - 3)*x^2 - 2*k*x + (k - 1) = 0) & (k != 3) ≡
≡ x^2 - 2*(k/(k - 3))*x + (k - 1)/(k - 3) = 0
riducendo l'equazione data alla forma
* x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2) = 0
dove
* s = X1 + X2 = 2*k/(k - 3)
* p = X1 * X2 = (k - 1)/(k - 3)
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Le equazioni di questa forma hanno
* discriminante Δ = s^2 − 4*p
* radici
** X1 = (s - √Δ)/2
** X2 = (s + √Δ)/2
che sono
* complesse coniugate se Δ < 0
* reali e coincidenti se Δ = 0
* reali e distinte, con X1 < X2, se Δ > 0
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NEL CASO IN ESAME
* Δ = s^2 − 4*p = (2*k/(k - 3))^2 − 4*(k - 1)/(k - 3) = 4*(4*k - 3)/(k - 3)^2
* √Δ = √(4*(4*k - 3)/(k - 3)^2) = 2*√((4*k - 3)/(k - 3)^2)
* X1 = (2*k/(k - 3) - 2*√((4*k - 3)/(k - 3)^2))/2 = k - √((4*k - 3)/(k - 3)^2)
* X2 = (2*k/(k - 3) + 2*√((4*k - 3)/(k - 3)^2))/2 = k + √((4*k - 3)/(k - 3)^2)
da cui
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a. Per quali valori di k si può avere una radice eguale a 1/2?
Il valore richiesto deve soddisfare all'equazione, quindi
* (1/2)^2 - 2*(k/(k - 3))*1/2 + (k - 1)/(k - 3) = 0 ≡
≡ (k - 7)/(4*(k - 3)) = 0 ≡
≡ k = 7
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b. Per quali valori di k si possono avere due radici reali e coincidenti?
* Δ = 0 ≡ 4*(4*k - 3)/(k - 3)^2 = 0 ≡ 4*k - 3 = 0 ≡ k = 3/4