Problemi su poligoni inscritti e circoscritti

Question

Buona sera a tutti; vado a pubblicare 2 problemi per i quali ho avuto difficoltà nella loro soluzione:

1) Trovare la misura dell'altezza e quella della base di un triangolo isoscele circoscritto ad un semicerchio di raggio r, sapendo che l'area del triangolo é 25/12 r^2. Risposte b1= 10/3r; h1= 5/4r b2= 5/2r; b2= 5/3r

2) Il lato di un quadrato inscritto in una circonferenza misura 6a sqrt2; determinare la misura del perimetro del triangolo isoscele circoscritto alla circonferenza, sapendo che la sua area è uguale ai 13/6 dell'area del quadrato inscritto. Risposta 2p = 52a.

Chiedo, se possibile, i disegni relativi ai 2 esercizi per capire meglio lo svolgimento che porta alla loro soluzione e passaggio per passaggio. Ringrazio anticipatamente chi vorrà aiutarmi come ormai d'abitudine.

Autore

Risposta

Beppe

(@beppe)

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426 4 688

29/12/2022 19:45

StefanoPescetto · Accepted Answer

[attach]32781[/attach] [attach]32782[/attach] 1) La diagonale del quadrato è il diametro della circonferenza circoscritta. Conoscendo il lato del quadrato, la diagonale è L*radice (2)    2) L'altezza del trapezio circoscritto è il diametro della circonferenza, ossia la diagonale del quadrato.    3) Essendo il quadrilatero circoscritto la somma dei lati obliqui è congruente alla somma delle basi    Ciao @Beppe,  Ecco una possibile soluzione degli esercizi.    ESERCIZIO 1) [attach]32783[/attach] Il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente nel punto di tangenza (H).  Posto r=1 Indichiamo con: CH= x  HB= y   La SOLUZIONE PIÙ VELOCE si ottiene osservando che il raggio della circonferenza inscritta è l'altezza relativa all'ipotenusa BC del triangolo rettangolo BMC. Applicando il secondo teorema di Euclide:   xy = h² = R² = 1   La seconda relazione si ricava osservando triangolo rettangolo CMB è equivalente alla metà del triangolo isoscele ABC  Imponendo la condizione richiesta: (x+y) /2 = 25/24   Il sistema risultante, di secondo grado, fornisce somma e prodotto delle radici.  {xy=1 {x+y = 25/12   Le soluzioni sono: x=3/4 , y= 4/3 x=4/3, y= 3/4   Il lato obliquo è L= (3/4)+(4/3) = 25/12   La base del triangolo isoscele quindi vale: se y= 3/4 => b1 =2*radice (1² + 9/16) = 10/4 = 5/2 se y= 4/3 => b2 =2*radice (1² + 16/9) = 10/3   L'altezza del triangolo isoscele la trovi facilmente conoscendo lato obliquo e base    H1= radice [L² - (b1/2)²] = 5/3 H2 = radice [L² - (b2/2)²] = 5/4   Buona serata.  Stefano

remanzini_rinaldo · Answer

1) [attach]32793[/attach] nello sketch sono illustrati tutti i passaggi che portano all'equazione finale 625r^2/144 = 2500r^4/144b^2+b^2/4 che permette di determinare b in funzione di r  e, di conseguenza, h  l'alternativa è applicare Euclide ricordando che  r^2 = CH*BH , CH essendo uguale L-Bh = 25r/12-BH

Problemi su poligoni inscritti e circoscritti

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