Problemi min e max.

A = 1/2·(√3·x + y + y)·x = 150  (area trapezio)

√3·x^2/2 + x·y = 150----> y = √3·(100·√3 - x^2)/(2·x)

perimetro trapezio=

=y + √3·x + 2·x + y + x = x·(√3 + 3) + 2·y

perimetro trapezio=

p =x·(√3 + 3) + 2·(√3·(100·√3 - x^2)/(2·x))=

=3·(x^2 + 100)/x

C.N. : p'=0

p'=3·(x^2 - 100)/x^2

si ha per : x = -10 ∨ x = 10 cm

in grassetto la soluzione del problema

dall'area  S = 150 cm² ovvero $ \frac{(DC + AB) \cdot x}{2} = 150 \; cm^2$ segue che $ DC + AB = \frac{300}{x}$

Il perimetro 2p(x) è la funzione che dobbiamo minimizzare

$ 2p(x) = (DC + AB) + CB + x = \frac{300}{x} + CB + x $

ricordando che cos(60°) = 1/2 deduciamo che CB = 2x per cui

$ 2p(x) = \frac{300}{x} + 3 x $

Minimizziamola.

• Derivata prima. $ (2p(x))' = 3 - \frac{300}{x^2} $
• Punti stazionari. $ (2p(x))' = 0$ il che implica $x_1 = -10  \;  \lor \; x_2 = 10$
  • Il termine negativo, in questo problema, non ha senso. Dimostriamo che x₂ è un minimo.
• Derivata seconda. (2p(x))"$= \frac{600}{x^3}$ essa è positiva per x = 10. E' un minimo!

Risposta x = 10 cm