Potete aiutarmi per favore
Sia ABC il triangolo tale che AB=2rad7, BC=6, AC=2
1) determina l'ampiezza dell'angolo ACB
2) determina il punto P sul lato BC tale che il rapporto AP÷PC sia minimo
Potete aiutarmi per favore
Sia ABC il triangolo tale che AB=2rad7, BC=6, AC=2
1) determina l'ampiezza dell'angolo ACB
2) determina il punto P sul lato BC tale che il rapporto AP÷PC sia minimo
87
punti
Livello 1
a) Per il teorema di Carnot
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 AC BC cos C^
28 = 4 + 36 - 2*12 cos C^
24 cos C^ = 40 - 28
cos C^ = 12/24 = 1/2
C^ = 60°
b) Posto PC = x con 0 < x <= 6
applicando ancora il Teorema di Carnot al triangolo ACP
puoi scrivere
AP^2 = 2^2 + x^2 - 2*2*x cos 60° = 4 + x^2 - 2x
da cui AP/PC = f(x) = sqrt (x^2 - 2x + 4)/x = min
Trattandosi di quantità positive possiamo cercare il minimo
di f^2(x) = (x^2 - 2x + 4)/x^2 = 1 - 2/x + 4/x^2
in ]0, 6] e qui se vuoi divertirti con le derivate ne hai libertà,
non sono difficili. Io invece mi arrampico sugli specchi e
pongo 1/x = v. Cerco quindi il minimo assoluto di
g(v) = 4v^2 - 2v + 1 che ha per grafico una parabola.
Così v* = -B/(2A) = 2/8 = 1/4 => x* = 1/v* = 4
Per cui PC deve essere 4 e il rapporto minimo é
f* = sqrt(16 - 8 + 4)/4 = sqrt(12)/4 = rad(3)/2
Verifica
https://www.desmos.com/calculator/4zo41jziml
36951
punti
Livello 6