Avrei bisogno di qualcuno che mi aiuti a capire questo esercizio che mi manda in confusione.. grazie
Una biglia di massa m, = 1,0 kg, che si muove
con velocità v, urta centralmente una seconda biglia, di massa m, inizialmente ferma. L'urto è perfettamente elastico.
Determina l'espressione delle funzioni f(m) e g(m) in modo che, dopo l'urto, la velocità della prima biglia sia vi = f(m) • v e la velocità della seconda biglia sia v2 = g (m) • v. Trova il dominio delle funzioni f e g, tenendo conto del significato fisico.
Verifica che, nei limiti delle ipotesi appena determinate, si tratta di funzioni decrescenti.
Verifica che, dopo l'urto, la seconda biglia si può muovere solo verso destra. Per quali valori di m, entrambe si muovono verso destra?
Per quali valori di m è verificata la condizione f(m) > g(m), considerando le funzioni definite nel loro dominio naturale?
Inizialmente solo la prima massa si muove, pertanto la quantità di moto e l'energia cinetica totali sono:
$ p_i = 1kg * v = v$
$ K_i = 1/2 *1kg * v^2 = 1/2 v^2$
(ometto le unità di misura per comodità).
Dopo l'urto si muove anche la seconda massa e quindi abbiamo:
$ p_f = f(m)v + g(m)v$
$ K_f = 1/2 f^2(m)v^2 + 1/2 mg^2(m)v^2$
Dato che si conservano quantità di moto ed energia, possiamo uguagliare le quantità e metterle a sistema:
{$ v = f(m)v + g(m)v$
{$ 1/2v^2 = 1/2 f^2(m)v^2 + 1/2 mg^2(m)v^2$
E semplificando i termini comuni ad ambo i membri arriviamo al sistema:
{$ 1 = f(m) + g(m)$
{$ 1 = f^2(m) + m g^2(m)$
dove le incognite sono le funzioni $f$ e $g$.
Risolvendo il sistema (ometto i calcoli) arriviamo alla soluzione:
$f(m) = \frac{1-m}{1+m}$
$ g(m) = \frac{2}{1+m}$
Chiaramente la massa dev'essere una quantità positiva, dunque le funzioni sono definite per $m > 0$.
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Che le due funzioni sono decrescenti è immediato essendo iperboli. Puoi verificarlo anche tramite la derivata:
$ f'(m) = \frac{-2}{(1+m)^2} < 0 \forall m>0$
$ g'(m) = \frac{-2}{(1+m)^2} < 0 \forall m>0$
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La velocità della seconda biglia dopo l'urto è:
$ v_2 = g(m)v = \frac{2v}{1+m}$
dato che $v$ era la velocità della prima biglia, dunque diretta verso destra, e la funzione $g(m)$ è ovviamente positiva, anche $v_2 > 0$ ed è dunque diretta verso destra.
La prima biglia invece ha velocità:
$ v_1 = f(m)v = \frac{(1-m)v}{1+m}$
che assume valori positivi (dunque è diretta verso destra) solo se $1-m>0$. Tenendo conto anche conto del dominio naturale della funzione, la biglia si muove verso destra se $0<m<1$.
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Qui basta risolvere la disequazione:
$ f(m) > g(m)$
$ \frac{1-m}{1+m} > \frac{2}{1+m}$
$ 1-m > 2$
$ m < -1$
Dato che però la massa dev'essere positiva, la condizione non è mai verificata.
