[Risolto] Problemi equazioni

358. Un ladro ruba alcune monte d'oro. Sulla via di fuga, però, incontra tre guardie, una dopo l'altra. A ogni guardia il ladro deve lasciare la metà delle monete che ha ancora con sé, più 1. Alla fine il ladro riesce a scappare con 1 sola moneta. Quante monete aveva rubato? [22].

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Numero monete $= x$:

$\big[x-\big(\frac{x}{2}+1\big)\big] - \bigg[\frac{x-\big(\frac{x}{2}+1\big)}{2}+1\bigg] - \Bigg\{\frac{\bigg[x-\big(\frac{x}{2}+1\big)\bigg] - \bigg[\frac{x-\big(\frac{x}{2}+1\big)}{2}+1\bigg]}{2}+1\Bigg\} = 1$

$\frac{x}{2}-1 - \big(\frac{x+2}{4}\big) - \big(\frac{x+2}{8}\big) = 1$ (mcm= 8)

$4x-8-2(x+2)-(x+2) = 8$

$4x-8-2x-4-x-2 = 8$

$x-14 = 8$

$x= 8+14$

$x= 22$

22.

Infatti se aveva n monete

dopo la prima guardia gli restano

n - (1/2 n + 1) = n/2 - 1

dopo la seconda

n/2 - 1 - (1/2(1/2 n - 1)+1) = n/4 - 3/2

infine dopo la terza 

n/4 - 3/2 - (1/2(n/4 - 3/2) + 1)=

=... = n/8 - 7/4 = 1

n- 14 = 8

n = 22

Infatti

22 - 12 = 10

10 - 6 = 4

4 - 3 = 1

"Qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere es 358"
dopo la guardia #3: 1
prima del "piu 1": 2
prima del "lasciare la meta": 4
dopo la guardia #2: 4
prima del "piu 1": 5
prima del "lasciare la meta": 10
dopo la guardia #1: 10
prima del "piu 1": 11
prima del "lasciare la meta": 22
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"Problemi equazioni: Quante monete aveva rubato?" n.
La specificazione
"A ogni guardia il ladro deve lasciare la meta delle monete che ha ancora con se, piu 1."
definisce la successione {a(k)} che dà il numero di monete dopo avere incontrato k guardie
* {a(k)} ≡ (a(3) = 1) & (a(k + 1) = a(k) - (a(k)/2 + 1)) ≡ a(k) = 3*2^(3 - k) - 2
da cui
* a(0) = 3*2^(3 - 0) - 2 = 22
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ALTERNATIVAMENTE, in un modo che sembra più elementare, ma è solo più macchinoso
* a(0) = n
a(1) = a(0) - (a(0)/2 + 1) = (n/2 - 1)
a(2) = a(1) - (a(1)/2 + 1) = (n/2 - 1) - ((n/2 - 1)/2 + 1) = ((n - 6)/4)
a(3) = a(2) - (a(2)/2 + 1) = ((n - 6)/4) - (((n - 6)/4)/2 + 1) = (n - 14)/8 = 1 ≡
≡ n - 14 = 8 ≡
≡ n = 8 + 14 = 22