[Risolto] Problemi ellisse

@mary-mi

Ciao e benvenuta.

Posto c>0 tale fuoco F(c,0) deve avere distanza d=18/(5√5) oppure d=18/5√5? (sono due cose distinte!). Speriamo bene.....

Scriviamo l'ellisse come: x^2/α + y^2/β = 1 avendo posto: α = a^2 e β = b^2

Il passaggio per il vertice (0,3) permette di scrivere:

0^2/α + 3^2/β = 1------> 9/β = 1-----> β = 9

i fuochi sono sull'asse delle x, quindi vale la relazione: c^2 = α - β = α - 9

Applichiamo la formula della distanza di F(c,0) dalla  retta 3x-y=0: con c>0 si ottiene:

d = ABS(3·c - 0)/√(3^2 + (-1)^2)------> d = 3·√10·ABS(c)/10=3·√10·c/10

quindi deve essere: 18/5·√5 = 3·√10·c/10 (come hai detto tu!)

Quindi: c = 6·√2-----> c^2 = 72

quindi: 72 = α - 9-----> α = 81

Ne consegue: x^2/81 + y^2/9 = 1

La retta y = 3*x passa per l'origine; le sue parallele, y = 3*x + q, simmetricamente distanti d = (18/5)*√5 dall'origine intersecano l'asse x in fuochi F(± c, 0) simmetrici rispetto all'origine; perciò l'origine è centro dell'ellisse Γ e l'asse minore è sull'asse y fra i vertici V(0, ± 3).
Pertanto l'equazione richiesta ha la forma
* Γ ≡ (x/√(c^2 - 3^2))^2 + (y/3)^2 = 1
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Per determinare la semidistanza focale c occorre rammentare che la distanza dall'origine della retta y = m*x + q è
* d(m, q) = |q|/√(m^2 + 1)
che, per la condizione (m = 3) & (d = (18/5)*√5), diventa
* d(3, q) = |q|/√(3^2 + 1) = (18/5)*√5 ≡ q = ± 18*√2
Le due parallele
* y = 3*x ± 18*√2
intersecano l'asse x nei fuochi F(± c, 0) = (± 6*√2, 0)
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In conclusione
* Γ ≡ (x/√((6*√2)^2 - 3^2))^2 + (y/3)^2 = 1 ≡
≡ (x/√(3*√7))^2 + (y/3)^2 = 1 ≡
≡ (3*√7)*x^2 + 7*y^2 - 63 = 0