[Risolto] Problemi di ottimizzazione

@riccardomarte92919

Ciao e benvenuto.

La somma dei due numeri è:

x + y = 40-------> y = 40 - x

Il prodotto desiderato vale:

P=x^2·y^3 = x^2·(40 - x)^3

Quindi calcoliamo le due derivate (derivate di un prodotto di funzioni!)

P'=5·x·(16 - x)·(x - 40)^2

P''= 20·(40 - x)·(x^2 - 32·x + 160)

Punti critici (C.N.) P'=0

5·x·(16 - x)·(x - 40)^2 = 0------> x = 40 ∨ x = 16 ∨ x = 0

Scartiamo 40 e zero che rendono il prodotto nullo e verifichiamo il massimo per 16

C.S. P''<0

20·(40 - 16)·(16^2 - 32·16 + 160)=-46080<0

Quindi per x=16 si ha un massimo

y = 40 - 16-----> y = 24

16 e 24 forniscono il massimo

@riccardomarte92919

@riccardomarte92919 

Procediamo con il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange per risolvere il problema dato

Scriviamo la lagrangiana:

L(x,y,λ)= x^2·y^3 + λ·(x + y - 40)

Quindi ricerchiamo gli estremi relativi vincolati imponendo le C.N.

{L'x=0

{L'y=0

{L'λ=0

quindi:

{2·x·y^3 + λ = 0

{3·x^2·y^2 + λ = 0

{x + y - 40 = 0**

Risolvendo si ottiene: 

[x = 0 ∧ y = 40 ∧ λ = 0, x = 16 ∧ y = 24 ∧ λ = -442368, x = 40 ∧ y = 0 ∧ λ = 0]

escludiamo la 1^ e l'ultima perché deve essere x>0 ed y>0.

Quindi l'unica terna di valori da esaminare è: (16,24,-442368). Esaminiamo quindi le C.N. attraverso l'hessiano orlato:

|0........f'x.........f'y|

|f'x......L''xx....L''xy|

|f'y......L''yx....L''yy|

con f'x=1 ; f'y=1 (dal vincolo**). Quindi:

L''xx=2·y^3;   L''yy=6·x^2·y;  L''xy=L''yx= 6·x·y^2

H*(x,y,λ):

|0..........1..................1|

|1......2·y^3......6·x·y^2|

|1......6·x·y^2....6·x^2·y|

=- 6·x^2·y + 12·x·y^2 - 2·y^3

in corrispondenza del punto critico trovato abbiamo:

H*= - 6·16^2·24 + 12·16·24^2 - 2·24^3= 46080 >0

quindi un massimo relativo vincolato

x + y = 40;

x = 40 - y;

prodotto: x^2 * y^3 = (40 - y)^2 * y^3;

f(y) = (40 - y)^2 * y^3;

f(y) = (1600 + y^2 - 80y) * y^3;

f(y) = 1600 y^3 + y^5 - 80y^4

f'(x) = 4800 y^2 + 5 y^4 - 320 y^3;

raccogliamo 5y^2;

f'(x) = 5y^2 * (y^2 - 64 y + 960);

f'(y) = 0;

y^2 - 64 y + 960 = 0;

soluzione ridotta:

y = 32 +- radicequadrata(32^2 - 960) = 32 +- radice(1024 - 960);

y = 32 +- radice(64);

y = 32+- 8;

y1 = 40; da scartare perché x + y = 40; viene x = 0. 

y2 = 24;

x = 40 - 24 = 16,

x = 16; y = 24.

@riccardomarte92919  ciao.