[Risolto] Problemi di ottimizzazione

Il disegno mostra la parabola Γ con: asse parallelo all'asse y; zeri in X1(- 1, 0) e X2(3, 0), quindi asse di simmetria x = 1; vertice V(1, 4); concavità rivolta verso y < 0, quindi apertura negativa; pertanto di equazione
* Γ ≡ y = 4 - a*(x - 1)^2
dove l'apertura si ricava dall'appartenenza degli zeri
* ≡ 0 = 4 - a*(2)^2 ≡ a = 1
ottenendo
* Γ ≡ y = 4 - (x - 1)^2
cioè che Γ è il luogo dei punti P(u, 4 - (u - 1)^2).
Invece il disegno non mostra affatto che yA = yB come il risultato atteso dà per ovvio.
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Dando per buono che A e B debbano essere allineati su una parallela all'asse x, cioè le soluzioni di
* (y = k) & (y = 4 - (x - 1)^2) ≡
≡ A(1 - √(4 - k), k) oppure B(1 + √(4 - k), k)
si ha, per l'area S(AOB),
* |AB| = xB - xA = 2*√(4 - k)
* S(k) = |AB|*k/2 = k*√(4 - k) <= S(8/3) = 16/(3*√3) ~= 3.08
in quanto le due prime derivate sono
* S'(k) = (8 - 3*k)/(2*√(4 - k))
* S''(k) = (3*k - 16)/(4*(4 - k)^(3/2))
e la condizione di massimo
* (S'(k) = 0) & (S''(k) < 0) ≡
≡ ((8 - 3*k)/(2*√(4 - k)) = 0) & ((3*k - 16)/(4*(4 - k)^(3/2)) < 0) ≡
≡ k = 8/3
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Fine dell'esercizio, il seguito è pignoleria.
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Attenendosi alla lettera del testo e non dandolo per buono si considerano i vertici di AOB
* A(u, 4 - (u - 1)^2), O(0, 0), B(v, 4 - (v - 1)^2)
con la condizione restrittiva
* (u < v) & (- 1 <= u <= 3) & (- 1 <= v <= 3)
e si ha
* S(u, v) = |(v - u)*(u*v + 3)|/2
che è massima per A sul vertice e B su X2
* S(1, 3) = |(3 - 1)*(1*3 + 3)|/2 = 6 > 16/(3*√3)

Il problema secondo me, è mal posto perché non è specificato che A e B debbano avere la stessa ordinata (o sbaglio?)