Determina, se esistono, il minimo e il massimo assoluti delle seguenti funzioni nell'intervallo indicato:
a. $y=\sqrt[3]{\cos ^2 x} \quad$ in $\left[-\pi, \frac{\pi}{2}\right]$
b. $y=\frac{\ln x}{x} \quad$ in $(0,+\infty)$
a. Osserva che l'intervallo $\left[-\pi, \frac{\pi}{2}\right]$ è chiuso e limitato, quindi in base al teorema di Weierstrass è garantita l'esistenza del minimo e del massimo assoluti. Per determinarli procedi come segue:
- calcola la derivata prima e verifica che $y^{\prime}=-\frac{2 \sin x}{3 \sqrt[3]{\cos x}}$;
- deduci che nell'intervallo $\left[-\pi, \frac{\pi}{2}\right]$ la funzione ha due punti stazionari (di cui uno coincidente con un estremo dell'intervallo considerato) e non è derivabile per $x= \pm \ldots$....;
- confronta i valori assunti dalla funzione in corrispondenza dei punti stazionari, dei punti di non derivabilità e degli estremi dell'intervallo dato; troverai così che il minimo assoluto della funzione nell'intervallo dato vale
$\qquad$ e il massimo assoluto vale $\qquad$
b. Osserva che l'intervallo $(0,+\infty)$ non è chiuso e limitato, quindi non è garantita l'esistenza del minimo e del massimo assoluto. Per stabilirlo procedi come segue:
- calcola anzitutto la derivata prima e verifica che $y^{\prime}=\frac{1-\ln x}{x^2}$;
- deduci che nell'intervallo $(0,+\infty)$ la funzione è sempre derivabile e ammette un unico punto stazionario, $x=$ $\qquad$
- calcola $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ e $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$;
- dal confronto tra il valore assunto dalla funzione in corrispondenza del punto stazionario e i valori dei limiti, puoi concludere che nell'intervallo $(0,+\infty)$ la funzione non ammette $\qquad$ assoluto (l'estremo inferiore è $\qquad$ .), mentre ammette massimo assoluto, uguale a $e^{-1}$.
Determina, se esistono, il minimo e il massimo assoluti di ciascuna funzione, nell'intervallo indicato a fianco. Se non esistono massimo o minimo assoluti, precisa estremo inferiore o estremo superiore.
Spiegare gentilmente e argomentare i passaggi.
