Problemi di max e min di geometria analitica

$ y(x) = \frac{2}{x^2} $

• Un generico punto Q che sta sulla curva avrà coordinate $Q(x, \frac{2}{x^2} ) $

Invece di minimizzare la distanza minimizzeremo la distanza al quadrato che da un lato è equivalente ma, non contiene radicali.

$ d^2(0,Q) = x^2 +(\frac{2}{x^2})^2 = x^2+ \frac{4}{x^4} $  

Minimizziamo la funzione d²(x)

• Derivata prima. $ D(d^2(0,Q)) = \frac{2(x^6 -8)}{x^5} $ 
• Punti stazionari. $ x^6-8 = 0 \; ⇒ \; x = \pm \sqrt{2} $

Nel punto stazionario la distanza d(x) vale y = 2/2 = 1.

Il punto P scelto ha coordinate P(√2, 1)

1. La retta OP ha equazione y = mx dalla quale ricaviamo m.  1 = m√2  ⇒ m = 1/√2
2. La retta tangente in P ha coefficiente angolare pari al valore della derivata prima. 

$ y'(x) = -\frac{4}{x^3}$ che nel punto P varrà $ y'(√2) = -\frac{4}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

Per dimostrare che sono perpendicolari è sufficiente procedere con il prodotto 

$ m \cdot m' = 1/√2 \cdot (-√2) = -1$

Si sono ortogonali.