Problemi di max e min di geometria analitica

Il grafico seguente illustra il problema,

https://www.desmos.com/calculator/9m3fegqyvs

Il generico rettangolo è individuato dall'intersezione della retta parallela all'asse x di equazione y = k e la parabola. I punti di intersezione sono le soluzioni del sistema

$ \left\{\begin{aligned} y &= 4x-x^2 \\ y &= k \end{aligned} \right. $      con   $k \in [0, 4]$

per confronto si ottiene

$ x^2-4x+k = 0 $ le cui due soluzioni sono:

1. $ x_1 = 2 - \sqrt{4-k} $
2. $ x_2 = 2 + \sqrt{4-k} $

a. Perimetro massimo

• perimetro $2p(k) = 2k + 2(x_2 - x_1)$

dobbiamo massimizzare la funzione 2p(k), lo faremo tramite la derivata 

• $ 2p'(k) = 2+\frac{2}{\sqrt{4-k}}$
• Punti stazionari. $ 2p'(k) = 0 \; ⇒ \; \frac{1}{\sqrt{4-k}} = 1 \; ⇒ \; k = 3 $

E' un punto di massimo visto che k = 0 e k = 4 sono punti di minimo e per Weirestrass esiste anche il massimo assoluto. Alternativa derivata seconda o analisi segno della derivata prima.

A completamento per k = 3 si ha 2p = 10. 

b. Area massima

Area rettangolo. $A(k) = k \cdot (x_2 - x_1) = k \cdot 2\sqrt{4-k}$

Massimizziamo la funzione A(k)

• Derivata prima

$ A'(k) = \frac{8-3k}{\sqrt{4-k}} $

• Punti stazionari

$ k = \frac{8}{3}$ che è un massimo.

Per provarlo, questa volta useremo la derivata seconda

A"$(k) = \frac{3k-16}{2\sqrt[3] {(4-k)^2}} $

Osserviamo che il denominatore è positivo per k∈(0,4) mentre il numeratore

per k = 8/3 vale -8 < 0  ⇒ E' un massimo.