problemi con sistemi di grado superiore al secondo

Ogni quadrilatero con diagonali a >= b > 0 ha area S pari al semiprodotto di esse: S = a*b/2.
Per il quadrato di diagonale d > 0 e area Sq = d^2/2 = L^2, il lato L = d/√2.
Per il rombo di diagonali a >= b > 0 e area Sr = a*b/2, il lato L = √(a^2 + b^2)/2.
-----------------------------
I dati del problema costituiscono il sistema
* (Lq = Lr) & (Sq = d^2/2 = 20) & (Sr = a*b/2 = 16) & (d > 0) & (a >= b > 0) ≡
≡ (d/√2 = √(a^2 + b^2)/2) & (d^2 = 40) & (a*b = 32) & (d > 0) & (a >= b > 0) ≡
≡ (d = √((a^2 + b^2)/2)) & ((a^2 + b^2)/2 = 40) & (a*b = 32) & (d > 0) & (a >= b > 0)
---------------
Quindi il "sistema di grado superiore al secondo" è quello
* (a^2 + b^2 = 80) & (a*b = 32)
delle intersezioni fra due coniche centrate nell'origine
* circonferenza di raggio r = √80 ~= 8.94
* iperbole equilatera con vertici V1(- √32, - √32) e V2(√32, √32) di raggio vettore OV lungo 8
Delle quattro intersezioni, garentite dalla relazione 8 < √80, si accetta quella per cui a >= b > 0 e la si usa per d.
---------------
* (a*b = 32) & (a^2 + b^2 = 80) ≡
≡ (a, b) ∈ {(- 8, - 4), (- 4, - 8), (4, 8), (8, 4)}
da (a, b) = (8, 4) si ha
* d = √((8^2 + 4^2)/2) = 2*√10 ~= 6.32
---------------
La consegna "determina il rapporto fra le diagonali" non significa nulla senza dire come scegliere numeratore e denominatore fra le sei possibili accoppiate dei tre valori {8, 2*√10, 4}
* {1/2, 2, √(2/5), 2*√(2/5), √(5/2)/2, √(5/2)}
Il fatto che il risultato atteso sia il rapporto a/b non rende significativa la consegna.
==============================
Dettagli
Il sistema
* (a*b = 32) & (a^2 + b^2 = 80) & (a >= b > 0) ≡
≡ (a = 32/b) & ((32/b)^2 + b^2 = 80) & (a >= b > 0)
ha risolvente
* ((32/b)^2 + b^2 - 80 = 0) & (b > 0) ≡
≡ ((b^4 - 80*b^2 + 1024)/b^2 = 0) & (b > 0) ≡
≡ u^2 - 80*u + 1024 = 0 ≡
≡ (u = 16) oppure (u = 64) ≡
≡ (b^2 = 16) oppure (b^2 = 64) ≡
≡ (b = ± 4) oppure (b = ± 8)
da cui
* (a = ± 8) oppure (a = ± 4)