[Risolto] problemi con l'equazioni

Per ipotesi l'area del nostro trapezio isoscele misura $144$ $cm^{2}$ e l'altezza misura $8$ $cm$. Mentre il triplo della base minore è inferiore di $2$ $cm$ del doppio della base maggiore. Ma cosa significa tutto ciò? Impostiamo tutto sotto forma di equazione.

$Area$ $Trapezio$ $=$ $144$ $cm^{2}$

$altezza$ $=$  $8$ $cm$

$3$ $\cdot$ $base_{m}$ $=$ $2$ $\cdot$ $base_{M}$ $-$ $2$

$base_{m}$ $+$ $base_{M}$ $=$ $\displaystyle\frac{ 2 \cdot Area Trapezio  }{ altezza }$ $=$ $\displaystyle\frac{ 288  }{ 8 }$ $=$ $36$ $cm$

Impostiamo ora un sistema di equazioni nel seguente modo :

$\begin{split}
\begin{cases}
base_{m} + base_{M} = 36 \\
3 \cdot base_{m} = 2 \cdot base_{M} - 2
\end{cases} \to \space \begin{cases}
base_{m} = 36 - base_{M} \\
3 \cdot ( 36 - base_{M} ) = 2 \cdot base_{M} - 2
\end{cases} \to \space
\begin{cases}
base_{m} = 36 - base_{M} \\
108 - 3 \cdot base_{M} = 2 \cdot base_{M} - 2
\end{cases}
\end{split}$

$\begin{split}
\begin{cases}
base_{m} = 36 - base_{M} \\
5 \cdot base_{M} = 110
\end{cases} \to \space
\begin{cases}
base_{m} = 36 - base_{M} \\
base_{M} = 22
\end{cases} \to \space
\begin{cases}
base_{m} = 14 \\
base_{M} = 22
\end{cases}
\end{split}$

Dunque la base minore e la base maggiore misurano rispettivamente $14$ e $22$ $cm$ 

Ciao!
Ricordiamo la formula dell'area del trapezio: $ A = \frac{(B+b)\cdot h }{2}$, con
$B=$ base maggiore
$b=$ base minore
$h=$ altezza

Sappiamo che l'area è $ A= 144$ e l'altezza è $h = 8$

inoltre sappiamo che $ 3b = 2B -2$ ("il triplo della lunghezza della base minore è inferiore di 2 cm alla lunghezza del doppio della base maggiore")

prendiamo come incognita $x = $ Base maggiore, allora

$B=x$ e $b = \frac{2x -2}{3}$

Allora, usando la formula dell'area che abbiamo appena visto:

$144 = \frac{(x+ \frac{2x -2}{3}) \cdot 8}{2}$
$288 = (x+ \frac{2x -2}{3}) \cdot 8$
$x+ \frac{2x -2}{3} = \frac{288}{8}$
$x+ \frac{2x -2}{3} = 36$

facciamo il minimo comune multiplo: $\frac{3x+2x-2}{3} = \frac{108}{3}$

$3x+2x-2 = 108$ $5x = 108+2$
$5x = 110$
$ x= \frac{110}{5} $
$ x = 22$

allora la base maggiore misura $22$ mentre la base minore: $b = \frac{2 \cdot 22 -2}{3} = 14$