[Risolto] Problemi con derivate

Piuttosto che derivare la funzione data, con t in mesi,
* p(t) = 10000/(1 + 99*e^(- 0.25*t))
mi sembra più soddisfacente riconoscerne la forma
* p(t) = K/(1 + ((K - P)/P)*e^(- r*t))
come l'integrale del modello ecologico di Verhulst
* dp/dt = r*p*(1 - p/K)
secondo cui la popolazione di infetti crescerebbe in progressione geometrica di ragione r se non fosse frenata dalla riduzione di risorse (persone sane da infettare) conseguente proprio all'aumento della popolazione.
In tale modello
http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_logistica#L%27equazione_di_Verhulst
* p(t) è la popolazione all'istante t;
* K è la popolazione asintotica, per t → ∞;
* p(0) = K/(1 + (K - P)/P) = P è la popolazione iniziale, all'istante t = 0.
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Siccome all'età mia la memoria traballa assai, quando riconosco una forma e non ne rammento le caratteristiche vado a ripescare il libro dove l'ho conosciuta (o, per non dover salire in soffitta, vedo se trovo qualcosa on line come adesso sulla WikipediA) e me ne ripasso le proprietà.
Per rispondere ai quesiti basta ricavare i valori caratteristici dalla funzione data.
QUESITO a: P
QUESITO c: K
QUESITO b: la rapidità di diffusione è
* p'(t) = dp/dt = r*p*(1 - p/K)
e dipende da tutt'e tre le costanti oltre che dalla funzione stessa.
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Se però proprio ci tieni a farne un esercizio sulle derivate invece che sull'ecologia delle popolazioni la successione delle regole di derivazione è qualcosa del genere
* D[a + f(x)] = D[f(x)]
* D[a/f(x)] = a*D[(f(x))^(- 1)]
* D[(f(x))^(- 1)] = - D[f(x)]/(f(x))^2
che, applicate alla
* p(t) = 10000/(1 + 99*e^(- 0.25*t))
danno
* p'(t) = dp/dt = D[10000/(1 + 99*e^(- t/4))] =
= 10000*D[(1 + 99*e^(- t/4))^(- 1)] =
= - 10000*D[1 + 99*e^(- t/4)]/(1 + 99*e^(- t/4))^2 =
= - (10000/(1 + 99*e^(- t/4))^2)*D[99*e^(- t/4)] =
= - (10000/(1 + 99*e^(- t/4))^2)*99*D[e^(- t/4)] =
= - (990000/(1 + 99*e^(- t/4))^2)*(- 1/4)*e^(- t/4) =
= 247500*e^(t/4)/(e^(t/4) + 99)^2
CONTROPROVA nel paragrafo "Derivative" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=D%5B10000%2F%281--99*e%5E%28-t%2F4%29%29%5D
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QUESITO a: P = 10000/(1 + 99*e^(- 0/4)) = 10000/(1 + 99) = 100
QUESITO c: K = lim_(t → ∞) p(t) = 10000/(1 + 99*0) = 10000
QUESITO b
Con
* p'(t) = 247500*e^(t/4)/(e^(t/4) + 99)^2
si ha
* p'(6) = 247500*e^(6/4)/(e^(6/4) + 99)^2 ~= 103.58 ~= 104
* p'(12) = 247500*e^(12/4)/(e^(12/4) + 99)^2 ~= 350.54 ~= 351
che sono proprio il risultato atteso.

b) devi calcolare P'(6) e P'(12)

E' la derivata di un reciproco d/dt k/g(t) = - k g'(t)/g^2(t)

P'(t) = - 10000/(1 + 99*e^(-0.25t) )^2 * 99*(-0.25)*e^(-0.25t)

Sostituendo e affidando il calcolo a Octave Online

octave:1> t = 12
t = 12
octave:2> v = - 10000/(1 + 99*e^(-0.25*t) )^2 * 99*(-0.25)*e^(-0.25*t)
v = 350.54
octave:3> t = 6
t = 6
octave:4> v = - 10000/(1 + 99*e^(-0.25*t) )^2 * 99*(-0.25)*e^(-0.25*t)
v = 103.58

P'(6) = 103.58 casi/mese ~ 104 casi/mese

P'(12) = 350.54 casi/mese ~ 351 casi/mese

c) Se t -> oo P(t) -> 10000

tutta la popolazione (10000 unità) si é contagiata