Problemi, calcolo differenziale

In verde è illustrata l'area protetta.(vedi figura sopra)

A=2*2= 4 km^2

Il fiume ha equazione:

y = x + SIN(pi·x)

con x in km ed y in km

Il tratto interessato è OA con O = origine degli assi ed A il punto terminale del fiume.

A ha coordinate:

y = 2 + SIN(pi·2)----> y = 2

Quindi A [2,2]

La retta passante per OA ha equazione y=x con m=1

Quindi vista la continuità della funzione in tutto R, sarà continua anche nel tratto interessato alla determinazione dell'area protetta.

y'= pi·COS(pi·x) + 1

Per Lagrange deve essere: y'=m=1, quindi:

pi·COS(pi·x) + 1 = 1

da calcolare dentro l'intervallo 0 < x < 2. Si ottengono i seguenti due punti:

x = 1/2 km ∨ x = 3/2 km

per x = 1/2: y = 1/2 + SIN(pi·(1/2))---> y = 3/2 km

per x=3/2 : y = 3/2 + SIN(pi·(3/2))----> y = 1/2 km

T1 [1/2, 3/2]

T2 [3/2, 1/2]

In corrispondenza ad essi si dovranno delimitare due rette tangenti:

y - 3/2 = 1·(x - 1/2)----> y = x + 1

y - 1/2 = 1·(x - 3/2)---> y = x - 1

che costituiscono i lati obliqui del parallelogramma richiesto

I lati verticali sono dati dalle rette x=0 ed x=2