Problemi algebrici

Considera il triangolo rettangolo che ha l’ipotenusa i e l’altezza h relativa al l’ipotenusa rispettivamente di 15 cm e 10/radice di 2 cm. Calcola il perimetro del triangolo 

h^2 = 100/2 = 50 = p1*p2

applicando Pitagora:

i^2 = c1^2+c2^2

applicando Euclide ; 

c1^2 = i*p1

c2^2 = i*p2

i^2 = c1^2+c2^2 = i*p1+i*50/p1

semplifico tutto per i

i = p1+50/p1

15 = p1+50/p1

15p1 = p1^2+50

p1 = (15±√15^2-4*50)/2 = (15-5)/2 = 5,0 cm

p2 = 15-p1 = 10 cm

c1 = √i*p1 = √15*5 = 5√3 cm

c2 =  √i*p2 = √15*10 = 5√6 cm 

2p = i+c1+c2 = 15+5(√3+√6) = 5(3+√3+√6) cm (35,9077..)

Abbiamo i seguenti dati :

i(ipotenusa) = 15 cm

h(altezza) = 10/radical 2 ---- razionalizziamo ---- 5*radical 2

A(area del triangolo) = h*i/2 = (15*5*radical 2)/2 = 75/2*radical 2

Sappiamo inoltre che :

2A = c1*c2 ---- che son i cateti

c1 = 2A/c2

c2 = 2A/c1

Ora l'ipotenusa può essere scritta così :

i = P - c1 - c2

Sostituiamo :

i = P -2A/c2 -2A/c1 ---- minimo comune multiplo ---- = c2*c1*P -2A -2A/c2*c1

Come scritto prima cambiamo c1*c2 ed esce :

i = 2A*P-4A/2A = 2A(P-2A)/2A ---- i 2A si semplificano ---- = P-2A

Sostituiamo con i valori e facciamo la formula inversa per ricavarsi il perimetro :

i = P-2A

P = i+2A = 15+75*radical 2 = 121 cm

Il triangolo rettangolo di lati
* 0 < a <= b < c = √(a^2 + b^2)
e altezza relativa all'ipotenusa
* h = a*b/c
ha perimetro
* p = a + b + √(a^2 + b^2)
---------------
Con i dati
* c = 15 cm
* h = 10/√2 cm
si ha
* (15 = √(a^2 + b^2)) & (10/√2 = a*b/15) & (0 < a <= b < 15) ≡
≡ (a*b = 75*√2) & (a^2 + b^2 = 225) & (0 < a <= b < 15) ≡
≡ (a = 5*√3) & (b = 5*√6)
quindi
* p = 5*√3 + 5*√6 + 15 = 5*(3 + √3 + √6) ~= 35.9077 ~= 35.9 cm