[Risolto] problemi algebrici equazioni di secondo grado

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In un trapezio rettangolo la base minore è lunga 4 cm in meno della maggiore e 1 cm in meno dell'altezza. Determina il perimetro del trapezio, sapendo che la sua area è di 12 cm². [16 cm]

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Poni le dimensioni come segue:

base maggiore $B=x$;

base minore $b=x-4$;

altezza $h= x-4+1 = x-3$;

equazione conoscendo l'area e utilizzandone la formula:

$\dfrac{(B+b)·h}{2} = A$

sostituisci:

$\dfrac{(x+x-4)·(x-3)}{2} = 12$

$\dfrac{(2x-4)·(x-3)}{2} = 12$

moltiplica tutto per 2:

$(2x-4)(x-3) = 2·12$

$2x^2-6x-4x+12 = 24$

$2x^2-10x = 24-12$

$2x^2-10x = 12$

ora dividi tutto per 2:

$x^2-5x = 6$

eguaglia a zero:

$x^2-5x-6 = 0$

equazione di secondo grado completa quindi risolvi con i seguenti dati:

$a= 1$;

$b= -5$;

$c= -6$;

$∆= b^2-4ac = (-5)^2-(4·1·-6) = 25-(-24) = 25+24 = 49$;

applica la formula risolutiva:

$x_{1,2}= \dfrac{-b±\sqrt∆}{2a} = \dfrac{-(-5)±\sqrt{49}}{2·1} = \dfrac{5±7}{2}$;

risultati:

$x_1= \dfrac{5-7}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$ che scartiamo perché negativa;

$x_2= \dfrac{5+7}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$

per cui tornando al trapezio:

base maggiore $B=x = 6~cm$;

base minore $b=x-4 = 6-4 = 2~cm$;

altezza $h= x-3 = 6-3 = 3~cm$;

proiezione lato obliquo $plo= B-b = 6-2 = 4~cm$;

lato obliquo $lo= \sqrt{3^2+4^2} = 5~cm$;

perimetro $2p= B+b+h+lo = 6+2+3+5 = 16~cm$.