[Risolto] Problemi

Problema 1

Notiamo che il triangolo $AOB$ è isoscele perché i due lati $OA$ e $OB$ sono uguali in quanto coincidono con due raggi. L'altezza, quindi, è mediana della base. Chiamiamo l'altezza $H$, esso è il punto che collega la corda al centro. Abbiamo quindi suddiviso il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli $HAO$ e $HBO$, entrambi rettangoli in $H$. 

Calcoliamo il raggio della circonferenza dall'area: $A = \pi r^2 $

$\Rightarrow r = \sqrt{2601} = 51 \ cm $

Sappiamo quindi il lato $AO$ e l'altezza $OH =24$. Con il teorema di Pitagora possiamo calcolare $AH$:

$AH = \sqrt{2601-576} = \sqrt{2025} = 45 \ cm $

La corda $AB$ quindi misura $45 \cdot 2 = 90 \ cm $

Problema 2

Attenzione! Non veniva il risultato quindi ho provato a fare il procedimento al contrario per verificare la correttezza dei dati. Il volume deve essere 1296 e non 296.

L'area della Piramide è: $Area \ di \ base \cdot Altezza : 3 $ ma essa è equivalente a un cubo, quindi il suo volume è anch'esso $ 1296$ Quindi:

$Area \ di \ base = \frac{1296 \cdot 3}{Altezza } = \frac{3888}{12} = 324 \ cm $

Allora il lato del quadrato di base della piramide è: $ \sqrt{324} = 18$

che corrisponde al diametro della circonferenza, la cui misura è:

$2p = 18 \cdot \pi $

Problema 3

Unisci gli estremi di una corda AB lunga 104 cm con il centro di un cerchio. Ottieni un triangolo di area 2028 cm^2. Calcola le misure della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio. Esprimi i risultati in dm e in dm^2. Risultati: 13πcm; 42,25π dm^2

$AB$ è la base del triangolo, quindi possiamo ricavarne l'altezza $HO$

$HO = \frac{2028 \cdot 2 }{104} = 39 $ 

Come nell'esercizio 1, possiamo usare questo con il teorema di Pitagora per trovare il raggio, ossia $AO$, usando il triangolo $HAO$ che ha base $AH = 52$ 

$AO = \sqrt{ 39^2+52^2} = \sqrt{1521+2704}= 65 \ cm = 6.5 \ dm $

Da cui possiamo trovare la lunghezza della circonferenza:

$ 2 r \pi = 13 \pi \ dm$

e dell'area

$r^2 \pi = 42.25 \ \pi \ dm^2 $

Problema 1:
Ricavo il raggio del cerchio sapendo che l'area è uguale a πr² quindi r=√(2601π/π)=51 ora che conosciamo il raggio creiamo un triangolo con i lati che sono: metà della corda, la distanza corda-centro ed il raggio, ora applichiamo Pitagora a questo triangolo per trovare la metà della corda AB/2=√(r²-d²) dove d è la distanza, quindi AB/2= √2025= 45 e quindi AB sarà uguale a 45×2=90
Problema 2:
Se il volume della piramide è lo stesso del cubo e conosciamo l'altezza possiamo quindi trovare l'area di base con la formula inversa (V×3)/h=A quindi l'area di base sarà uguale a 324 cm², eseguendo la radice di quest'area trovo il lato del quadrato che è la base che è uguale a18, ora il raggio della circonferenza iscritta in questo quadrato sarà la metà del lato, ovvero 9, applico la formula per trovare la circonferenza C=2πr e quindi C=18πcm
Problema 3:
Se l'area del triangolo formato da i due raggi e la corda è 2028, trovo l'altezza (che coincide con la distanza d corda-centro con la formula A×2/base (dove la base è la corda) e trovo che è 39, ora trovo il raggio della circonferenza applicando Pitagora al triangolo formato da raggio, distanza e mezza corda, quindi r=√[39²+(104/2)²]=65 quindi la circonferenza sarà 2πr=130πdm mentre l'area sarà πr²=45,25πdm²

NB nel problema 2 visto che non veniva sono partito dalla risposta e ho trovato che il forse il volume era 1296 invece che 296 e quindi ho svolto così