Problemi

a. Calcola l’area di un rettangolo sapendo che la diagonale è i 5/4 della base e la loro somma misura 54 cm.

Dati:
Diagonale = 5/4 della base
Base + diagonale = 54 cm
Passaggi:
1. Indichiamo con x la base del rettangolo
2. La diagonale sarà quindi 5/4x
3. Somma: x + 5/4x = 54 ⇒ 9/4x = 54 ⇒ x = (54 cm ⋅ 4)/9 = 24 cm (base)
4. Diagonale: 5/4 ⋅ 24 cm = 30 cm
5. Calcoliamo l'altezza utilizzando il teorema di Pitagora:
d² = base² + altezza² ⇒ 302 = 242 + h² ⇒ 900 = 576 + h² ⇒ h² = 324 ⇒ h = √324​ = 18 cm

Area = base ⋅ altezza = 24 cm ⋅ 18 cm = 432 cm²

b. Calcola il perimetro di un rombo avente le diagonali lunghe rispettivamente 20 cm e 48 cm.

Dati:
d1 = 20 cm
d2 = 48 cm
Passaggi:
1. Nel rombo, le diagonali si intersecano perpendicolarmente e si dividono a metà. Ogni lato è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti d1/2 e d2/2.
Lato = √(20/2)² + (48/2)² = √10²+24² = √100+576 = √676 = 26 cm

Perimetro = 26 cm ⋅ 4 = 104 cm

Dati:
Area = 1680 cm²
Altezza relativa alla base = 70 cm
Passaggi:
1. La formula dell'area è: A = (b ⋅ h)/2
2. Sostituisco: 1680 = (b ⋅ 70)/2 ⇒ b ⋅ 70 = 3360 ⇒ b = 3360/70 = 48 cm
3. In un triangolo isoscele, la base è 48 cm e l’altezza divide la base a metà. Quindi abbiamo due triangoli rettangoli con:
- cateto minore = 24 cm
- altezza = 70 cm
4. Calcoliamo il lato obliquo:
l = √24² + 70² = √576 + 4900 = √5476 = 74 cm

Perimetro = b + 2l = 48 cm + 2(74 cm) = 196 cm

d. In un trapezio isoscele, la base maggiore è 65 cm, la base minore è 17 cm e l’altezza è 45 cm. Calcola il perimetro.

Dati: 
B = 65 cm
b = 17 cm
h = 45 cm
Passaggi:
1. La differenza delle basi è B - b = 48, quindi ciascun lato obliquo è parte di un triangolo rettangolo con:
- Altezza: 45 cm
- Metà differenza delle basi: 48/2 = 24 cm
2. Lato obliquo:
l = √24² + 45² = √576 + 2025 = √2601 = 51 cm

Perimetro = B + b + 2l = 65 cm + 17 cm + 2(51 cm) = 184 cm

Dati:
c (ipotenusa) = 39 cm 
a (cateto minore) = 5/13 ⋅ 39 = 15 cm
Passaggi:
1. Usiamo Pitagora per calcolare il secondo cateto:
b = √c² - a² = √39² - 15² = √1521 - 225 = √1296 = 36 cm

Perimetro = a + b + c = 15 cm + 36 cm + 39 cm = 90 cm
Area = (a ⋅ b)/2 = (15 cm ⋅ 36 cm)/2 = 270 cm²

a. Calcola l'area di un rettangolo sapendo che la diagonale d è i 5/4 della base b e la loro somma b+d  misura 54 cm 

b+5b/4 = 9b/4 

base b = 54/9*4 = 24 cm 

diagonale d = 54-24 = 30 cm 

altezza h = 6√5^2-4^2 = 6√9 = 18 cm 

area A b*h = 24*18 = 432 cm^2

b. Calcola il perimetro di un rombo avente le diagonali lunghe rispettivamente 20 cm e 48 cm .

lato L = √(48/2)^2+(20/2)^2 = 26 cm

perimetro 2p = 4L = 104 cm 

c. L'area A di un triangolo isoscele misura 1680 cm^2 e l'altezza h misura 70 cm . Calcola il perimetro 2p del triangolo.

base b = 2A/h = 1680*2/70 =  48 cm 

lato obliquo lo = √h^2+(b/2)^2 = √70^2+24^2 = 74,0 cm

perimetro 2p = 74*2+40 = 188 cm 

d. In un trapezio isoscele la base maggiore B  e la base minore b misurano rispettivamente 65 cm e 17 cm . Sapendo che l'altezza h del trapezio misura 45 cm , calcola il perimetro del trapezio.

proiezione p = (65-17)/2 = 24 cm 

lato obliquo lo = √45^2+24^2 = 3√15^2+8^2 = 3*17 = 51 cm 

perimetro 2p = 2*51+65+17 = 184 cm 

e. Calcola il perimetro 2p e l'area A di un triangolo rettangolo, sapendo che l'ipotenusa i misura 39 cm e che un cateto è i 5/13 dell'ipotenusa.

cateto minore c = 39/13*5 = 15 cm

cateto maggiore C = 3√13^2-5^2 = 3√144 = 36 cm 

perimetro 2p = c+C+i = 15+36+39 = 90 cm 

area A = c*C/2 = 15*18 = 270 cm^2