Ciao a tutti! Mi servirebbe aiuto per svolgere questo problema. Un triangolo isoscele ABC di base AB ha il perimetro di 48 cm e la somma delle lunghezze dei lati obliqui supera di 12 cm la lunghezza di AB. Traccia la bisettrice dell'angolo A, che interseca CB in H e incontra in D la parallela ad AB condotta per C. Determina le lunghezze di CH e HB e le aree dei triangoli ABH e CDH. Ho provato a fare il disegno, però non so da quali considerazioni partire. Grazie mille in anticipo!
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Livello 2
BC = AC = x+6
AB = 2x
Essendo il perimetro 48 cm risulta
4x = 36
x=9 cm
Quindi
BC = AC = 15 cm = lato obliquo
AB = 18 cm = base
AB // CD per ipotesi
I triangoli HAB e HCD sono simili poiché hanno 3 angoli congruenti. Un angolo congruente poiché opposto al vertice (angolo in H).
BAD = CDA poiché alterni interni.
Per differenza anche il terzo angolo è congruente.
Essendo DA bisettrice dell'angolo
CAD = BAD
Quindi per la proprietà transitiva
CAD = CDA
Il triangolo ACD è isoscele sulla base AD
Quindi AC = DC = 15 cm
Essendo i triangoli HAB e HCD simili possiamo scrivere che
CD / AB = CH/HB
Ma:
HB = 15 - CH
Quindi:
15/18 = CH / 15 - CH
33*CH = 225
CH= 225/33 = 6,81 cm
Possiamo calcolare HB per differenza
HB = 15 - 6,81 = 8,18 cm
L'altezza H_ABC del triangolo ABC si ottiene con PITAGORA
H_ABC = radice (15² - 9²) = 12 cm
I triangoli HAB e HCD sono simili con coefficiente di similitudine
K= 15/18 = 5/6
Quindi anche le relative altezze hanno rapporto pari a K e somma pari a 12 cm (altezza del triangolo ABC)
Indicando con x e (6/5) *x le altezze dei triangoli HCD e HAB possiamo dire che:
x+(6/5)x = 12
(11/5)*x = 12
x= 60/11 = 5,45
Quindi l'altezza del triangolo HCD è:
H1 = 5,45 cm
L'altezza del triangolo HAB è:
H2 = 12 - 5,45 = 6,54 cm
Possiamo calcolare l'area dei due triangoli conoscendo la base e l'altezza
A_HAB = (18*6,54)/2 = 9* 6,54 = 58,90 cm²
A_HCD = (15*5,45)/2 = 40,87 cm²
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Genius II
@stefanopescetto Ciao Stefano innanzitutto grazie per avermi aiutato. Stavo svolgendo il problema e volevo capire che cosa assume il valore x. Inoltre nella traccia la lettera H si trova nel punto in cui la bisettrice dell'angolo A interseca CB. Nel suo disegno la lettera H si trova come altezza e non nel punto dove sono disegnati gli angoli rossi.
CORREGGO LE LETTERE DELLA FIGURA... 5 MINUTI
Le rette sono paralle e quindi la distanza tra esse coincide con l'altezza del triangolo isoscele ABC., che risulta essere 12 cm.
Fammi sapere ti ho chiarito il concetto?
@stefanopescetto Però non ho capito nella prima parte del problema dove c'è scritto x+6 o 2x, quella x incognita cosa indica?
Il testo dice che la somma dei lati obliqui supera di 12 la base. Ho indicato con 2x = base, x+6= lato obliquo.
Infatti 2*( x+6) = 2x + 12 = base + 12
La somma è 48 cm, il perimetro. Quindi
4x+12 = 48
4x=36
x=9
La base è 2x= 18
Ciascuno dei lati obliqui è x+6 = 9+6 = 15
Sappiamo poi che il rapporto di similitudine dei triangoli è 5/6.
Lo stesso vale per le loro altezze e la loro somma è 12 cm (distanza tra le rette //)
Un triangolo isoscele ABC di base AB ha il perimetro di 48 cm e la somma delle lunghezze dei lati obliqui (BC+AC) supera di 12 cm la lunghezza di AB. Tracciata la bisettrice dell'angolo A, che interseca CB in H e incontra in D la parallela ad AB condotta per C, determina le lunghezze di CH e BH e le aree dei triangoli ABH e CDH.
perimetro 2p = 48 = AB+2Lo = AB+AB+12
AB = (48-12)/2 = 18 cm
BC = AC = (48-18)/2 = 15 cm
altezza CE = √BC^2+BE^2 = √15^2-9^2 = 12 cm
il teorema della bisettrice afferma che la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati, come dire :
CD/AC = BD/AB
applicato al tuo problema :
BH/AB = CH/AC
poiché CH = (BC-BH) possiamo scrivere
BH/18 = (15-BH)/15
15BH = 270-18BH
BH = 270/33 = 8,1818 cm
CH = 15-BH = 6,8181 cm
la similitudine dei triangoli BHH' e BCE porta a dire
HH'/CE = BH/BC
altezza HH' = BH*CE/BC = 8,18181*12/15 = 6,5454 cm
AREA ABH = AB*HH'/2 = 9*6,5454 = 58,9090 cm^2
I due triangoli ABH e CDH sono simili per avere tutti e 3 gli angoli uguali ed il loro rapporto di similitudine k vale CH/BH = 0,8333 e l'area CDH vale l'area ABH*k^2 = 40,9091 cm^2
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Genius II
@remanzini_rinaldo Grazie mille per la disponibilità però non ho ancora studiato arctan e sen, quindi mi trovo un po' in difficoltà con alcuni passaggi 😓
Ho cambiata strategia per il calcolo dell'altezza HH' ...ora tutto è più facile
@remanzini_rinaldo Grazie mille ancora per averlo reso più semplice. Unico dubbio: perchè ha scritto nel primo rigo AB+AB+12, cioè intendo perchè due volte AB?
@Ant3ny_06 ....se 2*Lo = AB+12, allora il perimetro 2p è pari a 2Lo+AB, ovvero 2*AB+12
Ciao e benvenuto.
2·p = 48 cm è il perimetro
per i lati lettere minuscole:
c = x =AB
a = b = y lati obliqui
Quindi abbiamo:
{a + b + c = 48 perimetro
{2·y = c + 2·x condizione posta dal problema
che si traduce in un sistemino:
{2·y + x = 48
{2·y = x + 2·x
risolvibile per confronto:
48 - x = 3·x-----> x = 12 cm
y = (48 - 12)/2--------> y = 18 cm
A questo punto applichi il teorema della bisettrice: la bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
Quindi tale bisettrice interseca il lato obliquo a in H dividendolo in modo tale che:
12/18 = 2/3
cioè in 2 parti di cui una è 2/3 dell'altra: BH=2/3*CH
Quindi:
2 + 3 = 5
18/5·2 = 7.2 cm = HB
18/5·3 = 10.8 cm= CH
L'ultima parte del problema chiede di calcolare le aree di due triangoli che sono simili per costruzione.
Questi hanno un coefficiente di similitudine pari a k = 3/2
Quindi le aree sono proporzionali a: k^2 = 9/4
L'altezza H del triangolo ABC vale:
Η = √(18^2 - (12/2)^2)-------> Η = 12·√2 cm
L'altezza h del triangolo ABH, avendo in comune la base AB sarà:
h = Η/5·2------> h = 12·√2/5·2-----> h = 24·√2/5 cm
L'area del triangolo ABH vale:
Α = 1/2·c·h----> Α = 1/2·12·(24·√2/5)----> Α = 144·√2/5 cm^2
(circa Α = 40.73 cm^2)
L'area del triangolo superiore CHD, per quanto detto sopra, vale:
Α' = 144·√2/5·(9/4)------> Α' = 324·√2/5 cm^2
(circa Α = 91.64 cm^2)
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Genius II
@lucianop ...sei sicuro ? Buon weekend e buon "Montecarlo"
Ma perché mi devi mettere sempre le pulci nell'orecchio? Domani, " Montecarlo permettendo" vedrò di trovare il tempo per capire cosa ho sbagliato. Anche a te un Buon fine settimana!
@lucianop Ciao Luciano grazie mille anche a te per il contributo. Ho ricopiato tutte e 3 le versioni del problema, così tutto più sicuro 🤣 Buona serata anche a te 🤗
sss
75
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Livello 1
