Problema sull'ellisse

K=0 (doppio asse x) 

0<k<1 (fuochi su asse x)

K=1 (circonferenza centro O, r=1)

k>1 (fuochi su asse y)

 

Punto di tangenza:

(x0; 3/2*x0+3)

Formule di sdoppiamento:

-k*x0*x - (1/k)(3/2*x0+3)y + 1 = 0

Per confronto con la tangente 

x/2 - y/3 + 1 = 0

Imponendo le condizioni 

{-k*x0=1/2

{(1/k)*(3/2*x0+3)=1/3

 

si ricavano le coordinate dei punti di tangenza e i valori del parametro k

x0= - 1±(2/3)*radice (2)

y0= (3/2)*x0+3

 

L'equazione della retta normale:

Coefficiente_angolare della retta tangente: mt=3/2

Coefficiente_angolare della retta normale: mn = - 2/3

n: y-y0= - 2/3*(x-x0)

 

I valori del parametro k

k= - 1/(2*x0) = (9/2)±3*radice (2)

CARATTERISTICHE al variare di k
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Le ellissi del fascio, con parametro k > 0,
* Γ(k) ≡ (k^2)*x^2 + y^2 = k ≡
≡ x^2/(1/k) + y^2/k = 1
hanno
* pendenza m(x, y) = - (k^2)*x/y
* centro O(0, 0)
* semiassi (a, b) = (1/√k, √k)
* vertici V: (± 1/√k, 0) oppure (0, ± √k)
* semidistanza focale c e asse focale dipendono dalla relazione d'ordine fra i semiassi.
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1) per a < b ≡ (1/√k < √k) & (k > 0) ≡ k > 1
* c = √(k - 1/k)
* fuochi F(0, ± √(k - 1/k))
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2) per a = b ≡ (1/√k = √k) & (k > 0) ≡ k = 1
* Γ(1) ≡ x^2 + y^2 = 1 è la circonferenza unitaria.
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3) per a > b ≡ (1/√k > √k) & (k > 0) ≡ 0 < k < 1
* c = √(1/k - k)
* fuochi F(± √(1/k - k), 0)
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) Determinare k tale che la retta
* t ≡ 3*x - 2*y + 6 = 0 ≡ y = 3*x/2 + 3, di pendenza m = 3/2
sia tangente Γ(k) in P(u, v), e localizzare P.
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* (y = 3*x/2 + 3) & (x^2/(1/k) + y^2/k = 1) & (k > 0) ≡
≡ (x^2/(1/k) + (3*x/2 + 3)^2/k = 1) & (k > 0) & (y = 3*x/2 + 3) ≡
≡ (x^2 + (36/(4*k^2 + 9))*x - 4*(k - 9)/(4*k^2 + 9) = 0) & (k > 0) & (y = 3*x/2 + 3)
dove, per la tangenza, deve annullarsi il discriminante
* Δ(k) = 16*k*(4*k^2 - 36*k + 9)/(4*k^2 + 9)^2 = 0 ≡
≡ 4*k^2 - 36*k + 9 = 0 ≡
≡ (K1 = 9/2 - 3*√2 ~= 0.257) oppure (K2 = 9/2 + 3*√2 ~= 8.74)
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A1) K1 = 9/2 - 3*√2
* fuochi F(± √(13*√2/3 - 5/2), 0)
* Γ(K1) ≡ (9/2 - 3*√2)*x^2 + y^2/(9/2 - 3*√2) = 1
* t & Γ(K) ≡ (y = 3*x/2 + 3) & ((9/2 - 3*√2)*x^2 + y^2/(9/2 - 3*√2) = 1) ≡
≡ P1(- 1 - 2*√2/3, 3/2 - √2)
* n1 ≡ y = 3/2 - √2 - (2/3)*(x - (- 1 - 2*√2/3)) ≡ y = (15 - 26*√2)/18 - (2/3)*x
* Q1(0, (15 - 26*√2)/18 ~= - * n1 ≡ y = 3/2 - √2 - (2/3)*(x - (- 1 - 2*√2/3)) ≡ y = (15 - 26*√2)/18 - (2/3)*x
* Q1(0, (15 - 26*√2)/18 ~= - 1.2)
1.2)
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A2) K2 = 9/2 + 3*√2
* fuochi F(0, ± √(13*√2/3 + 5/2)))
* Γ(K2) ≡ (9/2 + 3*√2)*x^2 + y^2/(9/2 + 3*√2) = 1
* t & Γ(K) ≡ (y = 3*x/2 + 3) & ((9/2 + 3*√2)*x^2 + y^2/(9/2 + 3*√2) = 1) ≡
≡ P2(- 1 + 2*√2/3, 3/2 + √2)
* n2 ≡ y = 3/2 + √2 - (2/3)*(x - (- 1 + 2*√2/3)) ≡ y = (15 + 26*√2)/18 - (2/3)*x
* Q2(0, (15 + 26*√2)/18 ~= 2.9)
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%281-y%5E2%2F%289%2F2-3*%E2%88%9A2%29-%289%2F2-3*%E2%88%9A2%29*x%5E2%29*%281-y%5E2%2F%289%2F2--3*%E2%88%9A2%29-%289%2F2--3*%E2%88%9A2%29*x%5E2%29%3D0%2C%2826*%E2%88%9A2-12*x-18*y--15%29*%283*x-2*y--6%29*%2812*x--18*y--26*%E2%88%9A2-15%29+%3D+0%5D
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B) Trova l'equazione della normale n all'ellisse in P e le coordinate del punto Q in cui n incontra l'asse y.
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* n1 ≡ y = (15 - 26*√2)/18 - (2/3)*x
* Q1(0, (15 - 26*√2)/18 ~= - 1.2)
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* n2 ≡ y = (15 + 26*√2)/18 - (2/3)*x
* Q2(0, (15 + 26*√2)/18 ~= 2.9)
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C) Detto F il fuoco nel semipiano y > 0, calcola l'area S del triangolo PQF
* Γ(K1) ha fuochi F(± √(13*√2/3 - 5/2), 0) di ordinata y = 0.
* Γ(K2) ha fuochi F(0, ± √(13*√2/3 + 5/2) ~= ± 2.9) di ordinata y != 0.
Il triangolo di vertici
* P(- 1 + 2*√2/3, 3/2 + √2), Q(0, (15 + 26*√2)/18), F(0, √(13*√2/3 + 5/2))
ha area
* S(PQF) = |yF - yQ|*|xP|/2 =
= |√(13*√2/3 + 5/2) - (15 + 26*√2)/18|*|- 1 + 2*√2/3|/2 =
= (59 - 48*√2 + 3*√(6*(262*√2 - 369)))/108 ~= 0.001753