Problema sulla dinamica nei moti circolari

Problema risolto al link:

https://it.gauthmath.com/solution/1986911619279748/Una-sfera-di-massa-1-0-kg-scivola-all-interno-di-un-bina-rio-circolare-di-raggio

detta N la reazione vincolare diretta verso il centro :

N-Fp*cos 45° = m*Fc = m*Vt^2/r

31-1*9,8066*0,707 = 1*Vt^2/0,4

velocità tangenziale Vt = √(31-1*9,8066*0,707)/2,5 = 3,10 m/s

accelerazione tangenziale at = m*g*sin 45°/m = g*sin 45°

at = 9,8066*0,707 = 6,93 m/s^2

accelerazione centripeta ac = Vt^2/r = 3,10^2*2,5 = 24,07 m/s^2

Questo è quello che mi è sembrato di capire (la rappresentazione non è in scala).

Come puoi vedere dalla figura, tra $\vec{r}$ e $\vec{F_p}$ si forma un angolo di $45^{\circ}$ per costruzione, quindi l'angolo tra $\vec{F_p}$ e la tangente in $m$ è di $45^{\circ}$ dato che la tangente è sempre perpendicolare al raggio. La forza centripeta ha modulo $F=31N - F_p \cos(45^{\circ})$ perché questa si trova sul raggio vettore, punta verso il centro ed è noto che la forza vincolare (anch'essa perpendicolare alla tangente) sia di $31N$.

Ricordiamo che $F=m \dfrac{V^2}{r}$, quindi $V=\sqrt{\dfrac{Fr}{m}}=\sqrt{\dfrac{(31N-1kg \cdot  9.8m/s^2) \cdot 0.4m}{1kg}} \approx 3.10 m/s$.

Se vogliamo trovare il modulo dell'accelerazione tangenziale ci basta notare che questa è dovuta all'altra componente della forza peso di modulo $mg\cos(45^{\circ})= 1kg \cdot 9.8m/s^2 \cdot \cos(45^{\circ}) \approx 6.93N$, ora applichiamo il secondo pricipio della dinamica:
$F=ma \implies a = \dfrac{F}{m} = \dfrac{6.93N}{1kg} = 6.93m/s^2$.