Una sorgente luminosa puntiforme che si trova nel punto O della figura, illumina una sfera di centro C e produce un'ombra circolare su uno schermo AB.
Determina le equazioni dei raggi OA e OB, le coordinate dei punti di contatto con la sfera e il diametro dell'ombra proiettata.
Non riesco a capire come trovare la retta che passa per OA e quella per OB se non passano per x=3 e y=+-2 (all’inizio avevo fatto così per svista del disegno ma non riesco proprio ad immaginare altra via).
23
punti
Livello 0
Devi determinare le tangenti condotte per l'origine a
(x - 3)^2 + y^2 = 1
Detta y = m x una di tali tangenti
x^2 + m^2 x^2 - 6x + 9 - 1 = 0
(1 + m^2) x^2 - 6x + 8 = 0
deve avere D = 0
36 - 4*8(1 + m^2) = 0
9 - 8 - 8 m^2 = 0
8 m^2 = 1
m^2 = 1/8 = 2/16
m = +- rad(2)/4
y = +- x rad(2)/4 sono le equazioni delle rette richieste.
Da 9/8 x^2 - 6x + 8 = 0
9 x^2 - 48 x + 64 = 0
(3x - 8)^2 = 0
segue x = 8/3
e quindi y1,2 = +- 8/3 * rad(2)/4 = +- 2/3 rad(2).
Per l'ultima domanda infine basta osservare che
D = |y+(6) - y-(6)| = rad(2)/4 * 6 - (- rad(2)/4 * 6) = 2* 3/2 rad(2) = 3 rad 2
58352
punti
Livello 7
11730
punti
Livello 8
Il periodo iniziale è fuorviante rispetto ai problemi posti dalla consegna nel secondo periodo.
1) Scrivere l'equazione
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (4 - 3)^2
della circonferenza Γ di centro C(3, 0) per il punto (4, 0).
2) Scrivere le equazioni
* t ≡ y = ± m*x
delle rette per l'origine tangenti Γ.
3) Trovare i punti T di tangenza fra le t e Γ.
4) Trovare i punti A e B d'intersezione fra le t e la x = 6,
5) Calcolare la distanza |AB| = yB - yA.
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1) Γ ≡ y^2 = 1 - (x - 3)^2 ≡ x^2 + y^2 - 6*x + 8 = 0
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2 + 3) Per sdoppiamento di Γ rispetto al polo O(0, 0) si ha la retta polare
* p ≡ x*0 + y*0 - 6*(x + 0)/2 + 8 = 0 ≡ x = 8/3
che interseca Γ nei punti T richiesti
* (x = 8/3) & (y^2 = 1 - (x - 3)^2) ≡ T(8/3, ± 2*√2/3)
da cui le tangenti richieste
* t1 ≡ OT1 ≡ y = - x/(2*√2)
* t2 ≡ OT2 ≡ y = + x/(2*√2)
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4) (x = 6) & ((y + x/(2*√2))*(y - x/(2*√2)) = 0) ≡ A(6, - 3/√2) oppure B(6, 3/√2)
5) |AB| = yB - yA = 3/√2 + 3/√2 = 3*√2 ~= 4.24
57798
punti
Genius I
