problema sulla circonferenza

@mattia04

Ciao.

(x - α)^2 + (y - β)^2 = r^2

Centro C sulla retta y = x------> C(α = β, β), raggio r=5:

(x - β)^2 + (y - β)^2 = 5^2

passa per [7, 0], quindi:

(7 - β)^2 + (0 - β)^2 = 5^2

(β^2 - 14·β + 49) + β^2 = 25

2·β^2 - 14·β + 24 = 0

2·(β - 3)·(β - 4) = 0

β = 4 ∨ β = 3

Sono possibili 2 circonferenze:

(x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 5^2

x^2 + y^2 - 8·x - 8·y + 7 = 0

oppure

(x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5^2

x^2 + y^2 - 6·x - 6·y - 7 = 0

Si deve ora osservare il disegno!

{x^2 + y^2 - 8·x - 8·y + 7 = 0

{y = 0

Risolvendo la prima

[x = 1 ∧ y = 0, x = 7 ∧ y = 0]

Si esclude perché ascissa di A positiva

{x^2 + y^2 - 6·x - 6·y - 7 = 0

{y = 0

risolvendo: [x = -1 ∧ y = 0, x = 7 ∧ y = 0] OK!

quindi: A(-1,0)

retta AC:  (y + 0)/(x + 1) = (3 + 0)/(3 + 1)----> y/(x + 1) = 3/4

y = 3·x/4 + 3/4

oppure anche 3·x - 4·y + 3 = 0

{x^2 + y^2 - 6·x - 6·y - 7 = 0

{y = 3·x/4 + q (retta parallela a quella trovata)

per sostituzione: x^2 + (3·x/4 + q)^2 - 6·x - 6·(3·x/4 + q) - 7 = 0

x^2 + (9·x^2/16 + 3·q·x/2 + q^2) - 6·x - (9·x/2 + 6·q) - 7 = 0

25·x^2/16 + 3·x·(q - 7)/2 + q^2 - 6·q - 7 = 0

25·x^2 + 24·x·(q - 7) + 16·q^2 - 96·q - 112 = 0

tangenza Δ/4 = 0

144·(q - 7)^2 - 25·(16·q^2 - 96·q - 112) = 0

- 256·q^2 + 384·q + 9856 = 0

q = - 11/2 ∨ q = 7 si esclude la negativa in base al disegno

y = 3·x/4 + 7 oppure 3·x - 4·y + 28 = 0

25·x^2 + 24·x·(7 - 7) + 16·7^2 - 96·7 - 112 = 0    25·x^2 = 0    x = 0

Quindi  [0, 7] sono le coordinate di D: D(0,7)

{y = 3·x/4 + 7

{y = 0

risolvo: E(-28/3,0)

Metto in ordine i vertici del trapezio rettangolo

[-1, 0]

[3, 3]

[0, 7]

[- 28/3, 0]

[-1, 0]

Area=A = 1/2·ABS(- 1·3 + 3·7 + 0·0 - 28/3·0 - (- 1·0 - 28/3·7 + 0·3 + 3·0))

A=125/3 (=41.67 circa)

Risposta ultima domanda:

√((h - 1 - 3)^2 + (h - 3)^2) < 5-------> √(2·h^2 - 14·h + 25) < 5

2·h^2 - 14·h < 0-----> 0 < h < 7

Grafico:

 

 

 

 

Queste foto storte fanno venire il torcicollo! Ciao a tutti!

IL DISEGNO E' GROSSOLANAMENTE ERRATO, sai che gioia sarà il resto dell'esercizio!
------------------------------
Nell'equazione della generica circonferenza Γ in forma normale standard
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza determinando i tre parametri (a, b, q).
------------------------------
I quesiti "a" e "d" trovano risposta in quanto sopra.
---------------
a) Dato r = 5, il centro C(a, b), che giacendo sulla retta y = x è C(a, a), dista r dal punto B(7, 0) quindi è un'intersezione di
* (y = x) & ((x - 7)^2 + y^2 = 5^2) ≡ C(3, 3) oppure C(4, 4)
Dal grafico si rileva che il raggio vettore di C è minore di r
* |OC| = a*√2 < 5 ≡ a < 5/√2 ~= 3.53
quindi
* C(3, 3)
* Γ ≡ (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5^2
---------------
d) P(h - 1, h) è interno a Γ se e solo se
* (h - 1 - 3)^2 + (h - 3)^2 < 5^2 ≡ 0 < h < 7
------------------------------
b1) (y = 0) & ((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5^2) ≡ A(- 1, 0) oppure B(7, 0)
* AC ≡ y = (3/4)*(x + 1)
------------------------------
b2) Il fascio di parallele alla AC, di pendenza 3/4, è
* t(q) ≡ y = (3/4)*(x + q)
Il sistema
* t(q) & Γ ≡ (y = (3/4)*(x + q)) & ((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5^2)
ha la risolvente
* (x - 3)^2 + ((3/4)*(x + q) - 3)^2 = 5^2 ≡
≡ 25*x^2 + 6*(3*q - 28)*x + 9*(q - 4)^2 - 256 = 0
con discriminante
* Δ(q) = - 576*(q + 22/3)*(q - 28/3)
che, per la tangenza, deve annullarsi.
Quindi si ha
* t(- 22/3) & Γ ≡ (y = (3/4)*(x - 22/3)) & ((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5^2) ≡ (6, - 1)
* t(+ 28/3) & Γ ≡ (y = (3/4)*(x + 28/3)) & ((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 5^2) ≡ D(0, 7)
e
* t(+ 28/3) & (y = 0) ≡ (y = (3/4)*(x + 28/3)) & (y = 0) ≡ E(- 28/3, 0)
------------------------------
c) Il quadrilatero di vertici
* A(- 1, 0), C(3, 3), D(0, 7), E(- 28/3, 0)
ha i lati AC e DE paralleli per costruzione quindi è un trapezio.
La sua area
* S(ACDE) = 125/3
si calcola agevolmente con la
http://it.wikipedia.org/wiki/Formula_dell%27area_di_Gauss